Pascal’sches Dreieck – Ganz einfaches Prinzip mit vielen Geheimnissen

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Das Pascal’sche  Dreieck baut sich Schritt für Schritt nach einem ganz einfachen Prinzip auf: An der Spitze befindet sich eine Eins. Es folgen zu Beginn einer Zeile und am Ende eine Eins. von oben nach unten wird dann jede Lücke durch die Zahl gefüllt, die sich durch die Addition der beiden darüber stehenden Einträge ergibt. Das Pascal’sche Dreieck ist natürlich nach unten nie zu Ende.

Wenn man mit an,k  diejenige Zahl bezeichnet, die in der Reihe n (n = 0, 1, 2, 3, …) und an der Stelle k (k = 0, 1, 2, 3 …) steht, so lässt sich dieser Vorgang folgendermaßen beschreiben:

an+1,k = an,k-1+an,k .

Das “Dreiecksmuster” entsteht dadurch, dass man alle Zahlen des Pascal’schen Dreiecks, die durch drei teilbar sind, mit der gelben Farbe nach oben legt. In den folgenden Beispielen geht es um die durch 2, durch 9, durch 11 und durch 15 teilbaren Zahlen:

Alle diese Bilder lassen eine fraktale Struktur erkennen, d.h. die Muster sind selbstähnlich. Es wiederholen sich gewisse Formen immer wieder. Tatsächlich bilden diejenigen Zahlen des Pascal’schen Dreiecks, die bei der Division durch dieselbe natürliche Zahl denselben Rest ergeben, immer ein solches selbstähnliches Muster.

Die zum Pascal’schen Dreieck angeordneten Zahlen haben zahlreiche interessante mathematische Eigenschaften:

  • Die Zahlen der sechsten Reihe haben als Summe 26. Allgemein gilt: Die Zahlen der k-ten Reihe ergeben addiert 2k
  • Die Zahlen der dritten Reihe liefern die Koeffizienten von (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3. Die Zahlen der k-ten Reihe liefern die Koeffizienten von (a+b)k (Binomialkoeffizienten)
  • In der ersten Schrägreihe nach den Einsen erscheint die Folge der natürlichen Zahlen
  • In der zweiten Schrägreihe findet man die Zahlenfolge, die man erhält, wenn man die ersten zwei, drei, vier usw. natürlichen Zahlen addiert; 1 + 2 = 3, 1 + 2 + 3 = 6, 1 + 2 + 3 + 4 = 10, 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 usw. Seit alter Zeit nennt diese Zahlenfolge auch “Dreieckszahlen”. Jede dieser Zahlen lässt sich mit kleinen Steinen in Dreiecksform legen
  • In der dritten Schrägreihe befinden sich die Tetraederzahlen: 4, 10, 20, 35, 56, 84, usw.
  • Auch die an so vielen Stellen der Mathematik zu findende Fibonacci-Folge 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, usw. taucht im Pascal’schen Dreieck auf, wenn man – wie in den drei Beispielreihen – die Zahlen gewisser paralleler Reihen addiert. Die beiden Zahlen der oberen schrägen Reihe ergeben 1+1=2. In der nächsten gelb gefärbten parallelen Reihe ergeben 1+5+6+1=13 und entsprechend liefert das dritte Beispiel 1+9+28+35+15+1=86, also die zweite, siebte und elfte Fibonaccizahl.

Das sind noch lange nicht alle Geheimnisse des nach dem berühmten französischen Philosophen und Mathematiker Blaise Pascal benannten Zahlendreiecks mit einem so kinderleichten Aufbauprinzip!

Bei den durch die Teilbarkeit der Zahlen erzeugten Mustern entsteht natürlich die Frage, wie setzt sich das Muster fort, wenn man das Pascal’sche Dreieck weiter und weiter berechnet. Es gibt hierzu ein kleines Fotoalbum mit Computerbildern wesentlich größeren Pascal’schen Dreiecken. Letztlich erhält man eine gültige Antwort aber nur mit den Mitteln der reinen Mathematik.

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