Manhattan-Metrik – Der kürzeste Weg um Häuserblocks

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Dieses Experiment besteht aus einem Sperrholzbrett auf das rasterförmig 8×8 gleichgroße Würfel geklebt wurden. So erinnert das Objekt an regelmäßige Häuserblocks und rechtwinklig verlaufende Straßen, für viele also an Manhattan.

Das Wort Metrik hängt mit dem Wort messen zusammen. In der normalen euklidischen Ebene ist die kürzeste Verbindung zweier Punkte A und B, die geradlinige Strecke von A nach B. In der Manhatten-Metrik ist aber gerade das nicht möglich. Hier kann man sich nur nach oben oder unten bzw. nach rechts oder links bewegen. Die Länge eines Häuserblocks stellt die Längeneinheit eins dar.

Wie groß ist nun der Abstand von A nach B? Man geht – ohne Umweg – von A nach B immer nur waagrechte oder senkrechte Einheiten wählend und addiert die zurückgelegten Einheiten. Die Summe der notwendigen Einheiten ergibt dann den Abstand von A und B. Nun stellt man schnell fest, dass es meistens mehrere “kürzeste” Wege von A nach B gibt. Für den Abstand von A und B macht das aber keinen Unterschied, weil die gesamte Anzahl der waagrechten und senkrechten Bewegungen auf jedem dieser Wege dieselbe ist. Mit den weißen Stäbchen werden Punkte und mit bunten Fäden Wege markiert.

Auf dem ersten Foto sind alle diejenigen Punkte markiert, die vom mittleren Punkt drei Einheiten entfernt sind. Man könnte also sagen, dass auf dem ersten Bild der Kreis mit dem Radius r = 3 zu dem gegebenen Mittelpunkt in der Manhatten-Metrik zu sehen ist. Auf dem zweiten Foto sind zwei Punkte zu sehen und zwei kürzeste Verbindungen mit gelben Fäden markiert. Wie man leicht erkennt, beträgt der Abstand 10 Einheiten. Bei jedem möglichen kürzesten Weg muss man fünfmal nach rechts (links) und fünfmal nach unten (oben) gehen, dabei ist die Reihenfolge gleichgültig.

Die Manhatten-Metrik findet z.B. in den Wirtschaftswissenschaften Anwendung.Übrigens wird manchmal für die Manhatten-Metrik auch die Bezeichnung “Taxi-Metrik” gebraucht, was sich von selbst erklärt.

Auch das kleine, aber nicht ganz leichte Knobelspiel unten basiert auf dem beschriebenen System.

In der Mathematik gibt es nicht nur eine Geometrie, die uns aus der täglichen Erfahrung vertraut ist und selbstverständlich erscheint: die euklidische Geometrie. In allen Geometrien treten die Begriffe: Punkt, Gerade, Ebene usw. auf, aber ihre Relationen: parallel, schneiden, rechtwinklig usw. werden durch Axiome (Grundsätze) oft verschieden festgelegt. So gibt es in der euklidischen Geometrie zu jeder Geraden g und jedem Punkt A, der nicht auf dieser Geraden liegt, genau eine Gerade h, die parallel zu g ist und durch A geht. In der elliptischen Geometrie gibt es bei derselben Voraussetzung aber gar keine und in der hyperbolischen Geometrie unendlich vieler solcher Geraden h.

Grundlegend bei allen solchen Axiomensystemen ist, dass sie widerspruchsfrei sind. Lässt sich eine Aussage und auch ihre Verneinung aus einem Axiomensystem ableiten, dann kommt das System in den Papierkorb.

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