Zwei Legespiele – Formeln werden begreifbar

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Es geht um zwei mathematische Aussagen. In der ersten geht es um eine Eigenschaft der Zahlen der Fibonacci-Folge: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … Die Folge der Fibonacci-Zahlen entsteht dadurch, dass man jede Fibonacci-Zahl als Summe der beiden vorangegangenen Fibonacci-Zahlen erhält. Die ersten Zahlen sind 1 und 1. Daraus erhält man durch 1+1=2 die dritte, durch 1+2=3 die vierte, durch 2+3=5 die fünfte usw.

Mit diesem Exponat der Mathothek kann man sich einen guten Weg zum Beweis einer mathematischen Aussage über die Fibonacci-Zahlen bahnen. Die hier anschaulich vorgeführte Aussage lautet:

1·1+1·2+2·3+3·5+5·8+8·13+13·21=212 

Bei diesen sieben Rechtecken handelt es sich um  die geometrische Darstellung der Produkte der Fibonacci-Zahlen aus der obigen Gleichung: 1·1, 1·2, 2·3, … 13·21. Das nächste Bild zeigt, wie man nun die Rechtecke so in das Quadrat mit der Seitenlänge 21 legen kann, dass das Quadrat lückenlos, aber auch ohne Überlappung bedeckt ist.

Damit haben wir den geometrischen Beweis für die Richtigkeit der obigen Formel erbracht. Wir können uns aber jetzt auch die Erweiterung der vorherigen Argumentation für jede andere natürliche Zahl anstelle von 21 klarmachen.

Bei einem strengen mathematischen Beweis für die Behauptung, dass die Ausgangsformel für alle natürlichen Zahlen gültig ist, müsste man das schöne Prinzip der vollständigen Induktion benutzen.

Natürlich liegt es nahe, die anfangs aufgestellte Gleichung einfach rechnerisch zu überprüfen, aber mindestens seit Euklid und den alten griechischen Mathematikern ist das nicht mehr “in”. Es ist nun mal wesentlich eleganter und letztlich auch ökonomischer, die Allgemeingültigkeit einer Formel ein für alle Mal zu beweisen, als in jedem auftretenden Fall wieder von vorne anzufangen.

In der Mathothek – und nicht nur da – ist es auf jeden Fall gut, algebraische Zusammenhänge auch geometrisch zu interpretieren.

Auch bei diesem zweiten Exponat der Mathothek wird nach guter altgriechischer Sitte ein eigentlich algebraisches Problem geometrisch interpretiert. Diesmal geht es um eine Aussage über die natürlichen Zahlen: 1, 2, 3, 4, 5, usw. Sie lautet allgemein:

Für alle natürlichen Zahlen n gilt: (1+2+3+…+n)2=13+23+33+…+n3.

Da niemand ein Objekt dieser Art unendlich groß machen kann, beschränken wir uns auf n=4.

Das “bunte” Quadrat besitzt die Seitenlänge 1+2+3+4=10 Längeneinheiten und damit (1+2+3+4)2=102=100 Flächeneinheiten.

Andererseits lassen sich aus den Teilrechtecken, die das Quadrat vollständig und ohne zu überlappen bedecken, vier Quader mit 13=1, 23=8, 33=27 und 43=64 Volumeneinheiten bauen. Da 1+8+27+64=100 richtig ist, stimmt also die Behauptung.

Auch gelten die Bemerkungen von oben, dass  das konkrete Beispiel schneller durch Rechnung zu bestätigen wäre, so aber einen begreifbarer Zusammenhang entsteht und dass streng genommen, natürlich das “USW.” durch das Prinzip der vollständigen Induktion ersetzt werden müsste.

Es gibt in der Mathothek noch weitere Exponate, die sich ausführlicher mit dem Prinzip der vollständigen Induktion befassen:

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