Prinzip von Cavalieri – Volumenberechnung mit Treppenstufen

Wie können wir helfen?

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Das cavalierische Prinzip ist ein sehr hilfreiches Mittel, um bei einer Vielzahl von Körpern das Volumen (=Rauminhalt) zu bestimmen.

Wenn wir uns diesen Flakon anschauen, so scheint die Berechnung des Volumens eines solchen geschwungenen Körpers keine einfache Sache zu sein. Mithilfe des Prinzips von Cavalieri wird es aber ganz einfach: Wir berechnen zunächst den Flächeninhalt der Grundfläche – ein einfaches Rechteck – und multiplizieren das Ergebnis mit der Höhe des Flakons. Also hat dieser geschwungene Flakon dasselbe Volumen wie ein Quader mit derselben Grundfläche und derselben Höhe.

Hier ist ein erster Hinweis zum Verständnis. Der geschwungene, der schiefe Stapel aus den gleichen Sperrholzquadraten haben natürlich dasselbe Volumen wie der Quader, der entsteht, wenn man dieselben Quadrate vertikal aufeinander stapelt.

Kommen wir der Sache – dem Prinzip – noch näher: Wir betrachten zwei  Notizblöcke, bei denen die Stufen wesentlich dünner sind, fast nicht zusehen:

Ohne Zweifel wird der geneigte Mathotheksbesucher hier sofort erkennen, dass der “geschwungene” Quader links das gleiche Volumen wie der “gerade” Papierquader rechts besitzt. 

Der linke und der rechte Papierblock besitzen dasselbe Volumen! Es ist sogar der gleiche Block, nur dass der linke leicht verdreht wurde, der rechte aber noch in seiner Quaderform verharrt. Dabei halten wir fest: Die  Grundflächen beider Körper sind gleich, parallele Schnittflächen haben in derselben Höhe denselben Flächeninhalt und die Höhen beider Körper sind auch gleich.

Das Volumen des schraubenförmigen Blocks berechnet sich natürlich nach dem Motto: V=Grundfläche x Höhe.

Und jetzt geht es zu den Pyramiden. In Gizeh hatte man bis dato wohl noch nichts von Cavalieri gehört, aber die Stufenpyramide kannte man bestens.  Erst durch die Verkleidung der aus großen Steinblöcken erbauten Stufenpyramide entstand die glatte und flächig begrenzte Pyramide.

Beide Pyramiden bestehen aus denselben rechteckigen Sperrholzteilen, d.h. ihr Volumen ist jeweils dasselbe. Ihre Form ist jedoch unterschiedlich (Bei der rechten Pyramide steht eine Kante senkrecht auf der Grundfläche), weil die Holzquadrate verschieden aufeinandergesetzt sind. Für die Formulierung des cavalierischen Prinzips halten wir fest: Die Grundflächen beider Pyramiden sind gleich groß, die Schnittflächen beider Pyramiden mit einer Ebene parallel zur Grundfläche sind gleich groß und die Höhen sind gleich. Die Volumina beider Pyramiden sind natürlich gleich.

 Hier noch weitere Beispiele aus der Mathothek:

Das cavalierische Prinzip heißt nach Bonaventura Cavalieri, der von 1598 bis 1647 lebte. Heute formuliert man es so:

Haben zwei Körper gleiche Höhen und inhaltsgleiche Grundflächen und sind alle zur Grundfläche parallelen Schnittflächen in gleicher Höhe inhaltsgleich, so haben die beiden Körper dasselbe Volumen.

So gilt für schiefe Quader, schiefe Zylinder, schiefe Pyramiden und schiefe Kegel dieselbe Volumenformel wie für die entsprechenden geraden Körper.

Mit dem folgenden kleinen Exponat der Mathothek können wir uns die Volumenformel für eine Pyramide VPyramide= 1/3x Grundfläche x Höhe anschaulich klar machen, auch wenn in diesem Spezialfall die Höhe der Seitenlänge des Grundquadrats entspricht.

Mit den Mitteln der elementaren Geometrie bleibt das cavalierische Prinzip, zwar höchst anschaulich, aber nicht beweisbar. Dazu benötigt man die Infitesimalrechnung, d.h. den Grenzwertbegriff. Allerdings liefern auch hier die Exponate eine gute Veranschaulichung. Wenn man sich beispielsweise bei den Pyramiden die Quadrate immer dünner und dünner vorstellt (siehe Papierblöcke), dann nähern wir uns hinsichtlich des Volumens immer mehr der nicht-stufigen Pyramide. Das cavalierische Prinzip hilft aber nicht nur bei der Volumenberechnung schiefer Körper, sondern auch in vielen anderen Fällen, so auch hier:

 

Um diesen wellenförmig geschwungenen Glaskörper besser zu erkennen, wurde er mit gefärbtem Wasser gefüllt:

Entgegen unserer Intuition ist das Volumen dieses Körpers dasselbe wie das Volumen eines Quaders mit demselben Quadrat als Grundfläche und derselben Höhe. Das ergibt sich aus dem Prinzip von Cavalieri, weil alle zur Grundfläche parallelen Schnittflächen immer das gleiche Quadrat der Grundfläche liefern.

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