Buffons Nadeln und die Zahl Pi – Ein erstaunliches Experiment, aber auch ein wenig effektives Verfahren

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Der französische Naturforscher Georges Louis Leclerc, Comte de Buffon (1707-1788), hat ein fünfzehnbändiges Werk mit dem Titel Histoire naturelle générale et particulière geschrieben. Er war Verwalter des königlichen Gartens. Aber sein Name Buffon ist auch heute noch wegen seines Experimentes, mit Nadeln einige Stellen der Zahl Pi zu ermitteln, bekannt.

Buffon zeigte, dass eine Nadel der Länge d, die zufällig auf einen Holzboden mit Dielenbrettern der Breite d geworfen wird, den Rand eines Dielenbrettes mit der Wahrscheinlichkeit 2/π trifft. Allgemein gilt für eine Nadel der Länge a und Dielenbrettern der Breite b, dass in diesem Falle die Wahrscheinlichkeit 2a/bπ beträgt. (Setzt man a=1/2d und b=d, so ergibt sich (2⋅1/2⋅d):(d⋅π)=d/d⋅π=1/π.)

Leider ist die Effizienz dieses buffonschen Nadelexperiments nur sehr gering und daher für die praktische Bestimmung von π ziemlich bedeutungslos. Aber die “buffonschen Nadeln” sind doch von dem Ansatz her ganz überraschend.

In der Mathothek befindet sich zwar kein Dielenbretterboden, aber ein größeres Brett mit parallelen Linien und ein Kästchen mit gleichlangen Messingstäbchen. Damit lässt sich das buffonsche Nadelexperiment nachvollziehen. Die Messingnadeln sind halb so groß wie die Abstände der Parallelen. Daher beträgt bei diesem Experiment die Wahrscheinlichkeit, dass eine  zufällig geworfene “Nadel” eine der parallelen Linien trifft, gerade 1/π. Aus a=1/2 und b=1 sowie 2a/bπ folgt 1/π. Damit ist zu erwarten, dass beim zufälligen Werfen von Nadeln der Quotient Anzahl der Nadeln, die eine Linie getroffen haben: Gesamtzahl der geworfenen Nadeln einen Näherungswert für π liefert. Leider benötigte man eine sehr große Anzahl von Nadeln, um eine gute mehrstellige Näherung an π zu erhalten.

Hier ein Versuch mit insgesamt 86 zufällig geworfenen Stäbchen, von denen 27 eine der parallelen Linien getroffen haben.

Damit ergibt sich eine Annäherung an π von 86:27=3,185185185…

Wer mehr Zeit hat und zu investieren bereit ist, kann natürlich beliebig viele Nadeln werfen, indem er weitere Messingstäbchen herstellt oder sich mit einem Stäbchen begnügt und dieses ad libitum zufällig wirft.

Allerdings ist der Anreiz dazu nicht unbedingt durch das Wissen davon zu stärken, dass ungefähr 900.000 Nadeln geworfen werden müssten, um eine Präzision von 1/1000 mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% zu erreichen. 

Eine nicht gerade appetitlich zu nennende Alternative bietet sich im Schulhof im Bereich des Schulkiosks an. Bevor man etwas essen kann, muss ja der Mund vom Kaugummi entsorgt werden, der daher auf dem Boden landet und zu einem unregelmäßigen Muster festgetreten wird. Man zeichne ein ausreichend großes Quadrat und zähle die darin befindlichen Kaugummiflecken (=FQ). Danach grenze man in diesem Quadrat einen Viertelkreis ab, dessen Radius der Seite des Quadrates entspricht, und zähle die Kaugummiflecken in diesem Viertelkreis (=FK). Der Quotient FQ:FK   sollte dann eine Annäherung an die sich mit ihren Nachkommastellen wie ein Kaugummi endlos ziehende ästhetische Zahl π liefern.

Falls jemand mehr Kommastellen der Zahl Pi auf diese “appetitliche” Weise ermitteln möchte, findet er gewiss an öffentlich zugänglichen Stellen in der Kurstadt lohnende Gelegenheiten.

Die Methode, die Kreiszahl Pi näherungsweise durch Auszählen zu ermitteln, ist eine weniger spektakuläre, aber ästhetische Art, mit einem entsprechenden Exponat der Mathothek demnächst möglich.

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