Verdoppelung eines Quadrats – Sokrates und der Sklave

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Dieses hübsche kleine Puzzle aus acht bunten rechtwinkligen und gleichschenkligen Dreiecken ist natürlich ein Spielzeug für Kinder, die gerade gelernt haben, dass in dieser Welt nicht alles essbar ist.

Aber auch für Ältere ist es durchaus von Nutzen: Lässt sich doch damit sehr leicht erfahren, wie man ein gegebenes Quadrat verdoppeln kann, ohne eine einzige Rechnung anzustellen.

Es gilt dieses Quadrat zu einem doppelt so großen Quadrat zu machen:

Sokrates: “Zunächst zerlegst du das Quadrat mithilfe seiner beiden Diagonalen in die vier rechtwinkligen Dreiecke, nämlich das grüne, das gelbe, das rosa und das orange Dreieck. Dann ergänzt du das zu verdoppelnde Quadrat mit dem hellblauen, dunkelblauen, roten und maigrünen Dreieck zu einem größeren Quadrat.”

Sokrates: “Wie groß istdas nun so entstandene Quadrat?”

Sklave: “Nun es ist genau doppelt so groß wie das Ausgangsquadrat.”

Sokrates: “Richtig! Aber warum ist es doppelt so groß?”

Sklave: “Da das hellblaue Dreieck so groß wie das gelbe, das dunkelblaue so groß wie das dunkelgrüne, das orangefarbene so groß wie das rote und das pinkfarbene Dreieck so groß wie das maigrüne Dreieck ist, ist das Ausgangsquadrat verdoppelt worden.”

Ich war nicht dabei. Aber so hätte es in etwa gewesen sein können, auch wenn Sokrates die Exponate der Mathothek nicht zur Verfügung standen. Diese Methode, mit der Sokrates mithilfe von geeigneten Fragen zur richtigen Erkenntnis führt, nennt man auch die “Hebammen-Methode”, warum erklärt sich wohl von selbst.

Sokrates lebte von 469 v. Chr. bis 399 n. Chr. in Athen. Sokrates war für das abendländische Denken von grundlegender Bedeutung.

Mit diesem kleinen Spielzeug kann man noch andere geometrische Beziehungen darstellen, z.B. auch das Zerlegen eines Quadrats in zwei gleich große Quadrate, die zusammen so groß sind wie das Ausgangsquadrat:

Mehr als 2300 Jahre später findet ein Gespräch zwischen einem Besitzer einer alten Villa in Wiesbaden und seinem Gartenarchitekten statt. Der Besitzer der alten Villa fragte seinen Gartenarchitekten, ob er ihm sein für seinen großen Freundeskreis zu klein gewordenes Schwimmbecken vergrößern könne. “Aber ja!”, war natürlich seine Antwort.

Nun der Bauherr hatte genügend Geld und einige Sonderwünsche, nämlich

  1. sollte der neue Pool doppelt so groß wie der alte sein
  2. sollte er wieder quadratisch sein
  3. sollten die vier alten Bäume an ihren jetzigen Plätzen stehenbleiben.

Auch wenn der Gartenarchitekt nicht bei Sokrates studiert hatte, er lieferte das gewünschte Ergebnis:

Während dieses Verdoppeln eines Quadrates und das Zerlegen eines Quadrats in zwei halb so große Quadrate geometrisch gar keine Probleme machen, ist das bei der algebraischen Behandlung ganz anders. Da hier die Diagonale eines Quadrates eine zentrale Rolle spielt, stoßen wir bei der rechnerischen Behandlung auf die Irrationalität von Zahlen: Nehmen wir die Seitenlänge eines Quadrats als Einheit, dann beträgt die Diagonale √2. Einheiten. Und √2 ist keine rationale Zahl, d.h. man kann sie nicht als Bruch schreiben.

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