Sierpinski-Dreieck – Selbstähnliche Formen und fraktale Strukturen

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Das Sierpinski-Dreieck:

Man beginnt mit einem gleichseitigen Dreieck. Im nächsten Schritt schneidet man aus diesem ein gleichseitiges Dreieck heraus, dessen Eckpunkte die Seitenmittelpunkte des Ausgangsdreiecks sind. Bei dem nächsten Schritt wiederholt sich dieser “Ausschneidevorgang” mit jedem der drei vollen Dreiecke. Praktisch nicht – gedanklich mathematisch ja – lässt sich dieser Prozess unendlich oft fortsetzen. In der Darstellung oben wurde der Ausschneidevorgang fünfmal hintereinander durchgeführt. Jedes solche Dreieck ist eine fraktale Struktur: Die äußeren Teildreiecke sind verkleinerte Kopien des vorausgegangenen Dreiecks. Man spricht hier auch von der perfekten Selbstähnlichkeit des Sierpinski-Dreiecks.

Das erste Exponat besteht aus einer Menge von “Winkeln” oder L-förmiger Teilen, die alle ähnlich, aber nicht gleich groß sind. Dabei versteht man unter “ähnlich”, dass die ähnlichen Figuren durch Streckung oder Kürzung auseinander hervorgehen, also die entsprechenden Winkel gleich groß sind und die entsprechenden Seiten im gleichen Verhältnis stehen.

Aus je vier gleich großen “Winkeln” lässt sich ein vierfach so großer, aber ähnlicher “Winkel” legen. Dieses Verfahren lässt sich sowohl zu immer größeren als auch immer kleineren “Winkeln” fortsetzen. Auf diese Weise, indem man schrittweise den linken unteren “Winkel” durch vier kleinere “Winkel” der nächsten Stufe ersetzt, entsteht ein Beispiel für ein fraktales oder selbstähnliches Muster.

Auch wenn dieser Prozess sich nach oben, aber auch nach unten grundsätzlich fortsetzen lässt, werden in der konkreten Realisierung Grenzen auftreten, die aber für die Logik und die gedankliche abstrakte Fortsetzung nicht gelten.

Es gibt viele solcher Figuren, die sich in entsprechend selbstähnliche Teile zerlegen lassen.

Auch bei dem zweiten Exponat handelt es sich um Legeteile, die jeweils selbstähnlich sind. Während es sich bei dem ersten Objekt um L-förmige Figuren handelt, ist in diesem Fall eine etwas kompliziertere Figur, die eine gewisse Ähnlichkeit mit einer ägyptischen Pyramide besitzt. Man kann darin ein symmetrisches Trapez mit einem asymmetrisch angesetzten gleichseitigen Dreieck oder ein großes gleichseitiges Dreieck mit einem angesetzten Parallelogramm sehen.

Das L-förmige Element oder “Winkel” des ersten Exponates lässt sich aus einem Quadrat herstellen, das man in vier gleiche Quadrate teilt und dann ein kleines Quadrat entfernt.

Bei dem zweiten Objekt zerlegt man ein gleichseitiges Dreieck in neun gleiche kleine gleichseitige Dreiecke und entfernt an geeigneten Stellen drei von diesen kleinen Dreiecken.

Hier ein Beispiel für eine schrittweise Fraktalisierung:

Man kann sich in beiden Beispielen leicht vorstellen, dass man beim Ersetzen einer Grundform durch die nächste Generation das nicht nur für eine, sondern für alle alten Figuren durchführt.

Natürlich ließe sich auch dieser Prozess unendlich fortsetzen, zumindest ginge das auch dieses Mal nur abstrakt gedanklich.

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