Das Collatz-Problem – Die „Attraktivität der Eins“

Dies ist ein verblüffendes Experiment. Egal wo man startet, man wird immer bei der Zahl eins landen! Um einige Beispielzahlen zu überprüfen, reichen ein Bleistift und ein Blatt Papier aus. Oder man benutzt das entsprechende Objekt der Mathothek:

Man denkt sich eine Zahl aus, von der aus man startet. Dort legt man einen kleinen Messingring hin. Dann befolgt man die beiden folgende Regeln:

Regel G: Ist die Zahl gerade, so halbiert man die Zahl, d.h.

n gerade ⇒ n / 2.

Regel U: Falls die Zahl ungerade ist, wird diese verdreifacht und noch eins dazu addiert,

n ungerade ⇒ 3 · n + 1

Ein Beispiel: Wir beginnen mit der Zahl 26. Diese Startzahl wird mit einem kleinen Messingring markiert. Da 26 eine gerade Zahl ist, liefert 26:2=13 die Folgezahl. Die 13 wird mit einem weißen Ring markiert. 13 ist ungerade, also berechnet sich ihre Folgezahl 13·3+1=40. Mit der neuen Zahl verfährt man nun ebenso. Je nachdem wo man startet, kann es passieren, dass die errechneten Zahlen auch mal größer als 226 werden. Dann benutzt man einen Zettel und notiert die Zahlen. (Natürlich kann man dieses Experiment auch nur mit Papier und Bleistift machen.)  

In obigem Beispiel wurde mit der Zahl 26 begonnen: 26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1

Egal mit welcher Zahl man startet, auch wenn sie natürlich größer als 226 ist, man landet immer bei der Eins, bzw. bei der „ewigen“ Wiederholung 4→2→1→4→2→1→4… Einfach ausprobieren.

Bisher hat man noch keine Zahl gefunden, bei der dieser sehr einfache Algorithmus nicht doch irgendwann bei der Eins geendet hätte, auch nicht mit Hilfe leistungsstarker Computer. Allerdings hat bisher auch noch niemand einen mathematisch korrekten Beweis dafür gefunden, dass dieser nach dem Mathematiker Collatz benannte Algorithmus für jede Startzahl bei der Eins endet oder eine Zahl gefunden, bei der das nicht der Fall ist. Auch mithilfe des großen Bruders Computer nicht, auch wenn es inzwischen einige interessante Teilantworten gibt. So müsste, falls es eine andere „Zielschleife“ geben sollte, diese Schleife nicht vier, sondern über 10.000.000.000 Zahlen enthalten. Außerdem müsste diese Startzahl größer als 2⁶⁸ sein. (Stand Juli 2022.)

Es gibt auch hier ein wesentlich einfacheres Experiment in der Mathothek, bei dem Du Dich erfolgreicher auf die Suche nach einem Beweis machen kannst: „Gelber Stein auf gelbem Kreis – Noch so viele Beispiele sind kein Beweis!