Schnittpunkte zweier Jordan’scher Kurven – Warum ist die Anzahl immer gerade?

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Dieses Exponat besteht aus einer Korkfläche, einer weißen geschlossenen Kordel und grünen Pinnnadeln. Auf dem unteren Foto bildet die weiße Kordel eine einfache geschlossene Kurve. Ebenso bildet die auf dem Kork aufgemalte braune Linie eine solche einfache geschlossene Kurve. „Einfach“ bedeutet, dass die Kurve sich nirgends überkreuzt (=überschneidet). Solche Kurven nennt man in der Mathematik Jordan’sche Kurven.

Eine wesentliche Eigenschaft jeder jordanscher Kurve ist es, dass sie die Ebene – ohne die Punkte der Kurve selbst – in eine Innen- und eine Außenfläche teilt. Ein jordansche Kurve zerlegt die Ebene in zwei disjunkte Punktmengen, d.h. diese haben keinen gemeinsamen Punkt, zusammen mit den Punkten der Kurve selbst ergibt die Vereinigung der Mengen die Punktmenge der gesamten Ebene. Bewegt man sich auf einer jordanschen Kurve im mathematisch positiven Sinn, d.h. gegen den Uhrzeigersinn, so liegt die Innenfläche zur linken Hand und die Außenfläche zur rechten. Die Innenfläche ist immer beschränkt, die Außenfläche ist es nie.

Im oben abgebildeten Fall liegt die braune Kurve ganz im Inneren der weißen Kurve. Es gibt also null Schnittpunkte.

Im linken oberen Fall gibt es zwei und im rechten oberen Fall vier grün gekennzeichnete Schnittpunkte. In den anderen Fällen gibt es 8, 10 und 12  grün gekennzeichnete Schnittpunkte. Wir haben also – mit ganz oben – in den sechs Beispielen jedes Mal eine gerade Anzahl von Schnittpunkten. Wir können weitere Beispiele untersuchen. Solange wir keinen Berührpunkt, sondern nur Schnittpunkte haben, wird das Ergebnis immer eine gerade Anzahl von Schnittpunkten aufweisen.

Ist das immer so? Warum ist das so?

Die Antwort ist einfach: Wenn die weiße Kurve die braune Kurve schneidet, verläuft sie von der Außenfläche der braunen Kurve in deren Innenfläche. Da es sich um geschlossene Kurven handelt, muss die weiße die braune Kurve ein zweites Mal schneiden, um aus deren Inneren in deren Außenfläche zu gelangen. Oder umgekehrt. Damit ist klar, dass Schnittpunkte der beiden Kurven nur paarweise auftreten können: „Herein und Heraus sind zwei.“

In der Mathothek gibt es ein weiteres Exponat zum Thema Jordan’sche Kurve und dem Polyedersatz von Euler, das sich mit ihren Eigenschaften spielerisch auseinandersetzt.

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