Mathothek

Mischungsaufgaben erscheinen vielen Schülern häufig besonders schwer zufallen. Hier ein besonderes Exempel: Zwei Gläser mit gleichem Volumen sind exakt bis zum Eichstrich mit Wein gefüllt. Eines enthält Rotwein, das andere dieselbe Menge Weißwein. Nun nimmt man einen exakt gefüllten Löffel voll Rotwein und gibt ihn in das Glas mit Weißwein. Man rührt in Glas mit der Mischung noch ein wenig um. Jetzt wird der Löffel exakt mit der Weißwein-Rotwein-Mischung gefüllt und sein Inhalt in das Glas mit dem Weißwein gekippt. Jetzt die Frage zu dieser “Weinpanscher-Aufgabe”: Ist nun mehr Rotwein im Weißweinglas als Weißwein im Rotweinglas oder umgekehrt oder gar gleichviel?

Mithilfe eines Experiments in der Mathothek lässt sich die Aufgabe gut vereinfachen und verstehen. Zu diesem Exponat gehören zwei Becher. In jedem der beiden Becher befinden sich zu Beginn 76 Perlen. Im ersten Becher, der eher grün erscheint, befinden sich 76 gelbe Perlen, deswegen soll dieser im Folgenden “gelber Becher” genannt werden. Im zweiten Becher, der eher orange aussieht, sind 76 rote Perlen. Deswegen soll dieser im Folgenden “roter Becher” genannt werden.  Dazu gibt es noch einen Messlöffel.

Beim ersten Schritt nimmt man mit dem Löffel eine Anzahl n roter Perlen aus dem roten Becher und füllt sie in den gelben Becher zu den gelben Perlen und vermischt sie miteinander.

Anschließend nimmt man mit dem Löffel dieselbe Anzahl von den gemischten Perlen, wie man vorher rote Perlen zugefüllt hat, und gibt diese Mischung zurück in den Becher mit den roten Perlen.

Jetzt sind im gelben Becher eine Anzahl rote Perlen unter den gelben und im roten Becher eine Anzahl gelber Perlen.

Wie verhalten sich die beiden Zahlen zueinander? Sind jetzt mehr rote Perlen unter den gelben Perlen im gelben Becher oder mehr gelbe unter den roten Perlen im roten Becher oder sind es gleichviel?

Unser Experiment liefert uns ein konkretes Ergebnis und einen Hinweis auf die Lösung der verallgemeinerte Aufgabe und somit auch auf unsere “Weinpanscher-Aufgabe”:

Wir sortieren die gelben Perlen aus dem roten Becher und die roten Perlen aus dem gelben Becher. Und siehe da, es sind gleich viele!

Wir sehen ein: am Anfang waren in beiden Bechern dieselbe Anzahl Perlen. Dann wanderte eine bestimmte Anzahl roter Perlen in den gelben Becher und dann wanderte dieselbe Anzahl gemischter Perlen zurück in den roten Becher. Da keine Perlen irgendwie nach irgendwo verschwunden sind, befinden sich am Ende wieder dieselbe Zahl Perlen in jedem der beiden Becher, d.h. in unserem Experiment 76. Die Anzahl der roten Perlen im gelben Becher muss somit identisch sein mit der Anzahl der gelben Perlen im roten Becher. Gäbe es mehr rote Perlen im gelben Becher als gelbe im roten Becher, dann wären insgesamt mehr Perlen im roten als im gelben Becher und umgekehrt. Ist r die Anzahl der roten Perlen im gelben Becher, g die Anzahl der gelben Perlen im roten Becher und 76 die Anzahl der Perlen zu Beginn der Mischung, dann gilt:

76-g=76-r also r=g.

Die im gelben Becher fehlenden gelben Perlen sind durch dieselbe Anzahl roter Perlen ersetzt, die im roten Becher fehlen und durch gelbe Perlen ersetzt sind.

Das lässt sich auch auf die “Weinpanscher-Aufgabe” übertragen: Die im Rotweinglas fehlende Menge Rotwein wird durch dieselbe Menge Weißwein ersetzt, die im Weißweinglas fehlt und dort durch Rotwein ersetzt ist.

Übrigens kann man dieses Experiment auch ohne den Löffel durchführen und den Zufall besser einbeziehen. Man nimmt zunächst eine Anzahl x roter Perlen aus dem roten Becher, gibt diese in den gelben Becher und mischt sie mit den gelben Perlen. Anschließend nimmt dieselbe Anzahl x gemischter Perlen mit geschlossenen Augen aus dem gelben Becher und legt sie in den roten Becher.

Die Frage bleibt dieselbe: Sind jetzt mehr rote Perlen unter den gelben Perlen im gelben Becher oder mehr gelbe unter den roten Perlen im roten Becher oder sind es gleichviel?