Wie können wir helfen?
Das Rhombendodekaeder ist nicht so bekannt aus unserem Alltag, aber die Natur kennt es. Das häufig zu Schmuck verarbeitete Mineral Granat kommt in seiner kristallinen Form häufig als Rhombendodekaeder vor:
Die Kanten des Rhombendodekaeders sind hier nicht – wie es scheinen mag – abgeschliffen worden, der Kristall ist unbearbeitet und so gewachsen. Granat wird als Schmuckstein verwandt.
Ein Rhombendodekaeder ist von 12 kongruenten (=deckungsgleichen) Rhomben(=Rauten=Karos) begrenzt. Ein Rhombus ist ein Viereck mit gleichlangen Seiten, und seine gegenüberliegenden Innenwinkel sind gleich groß. Hier ist ein Kantenmodell eines Rhombendodekaeders:
Die Frage nach dem Volumen eines Rhombendodekaeders erscheint auf den ersten Blick schwierig oder zumindest aufwendig. Auf den zweiten Blick zeigt sich das Problem einfach und die Lösung als sehr elegant. Den Weg dorthin hilft uns ein Exponat der Mathothek finden, das im Wesentlichen aus sechs gleichen quadratischen Pyramiden besteht:
Im ersten Schritt entfernen wir die sechs Pyramiden des Rhombendodekaeders und bekommen einen Würfel und sechs Pyramiden, Damit erhalten wir die Erkenntnis, dass der Ausgangskörper genau so viel Volumen hat, wie es die sechs Pyramiden und der Würfel zusammen besitzen:
Nun müssen wir uns nur noch davon überzeugen, dass die sechs Pyramiden zusammen dasselbe Volumen haben wie der Würfel. Dazu bauen wir aus den sechs Pyramiden einen Würfel, dessen Seiten mit den Grundflächen der Pyramiden kongruent sind:
Damit ist klar, dass das Volumen des Rhombendodekaeders doppelt so groß ist wie das Volumen des Würfels. Beträgt die Länge der Würfelkante a und damit das Volumen des Würfels a3, so ist das
Volumen des Rhombendodekaeders 2a3.
Dabei entspricht dessen Länge der kurzen Diagonalen einer den Rhombendodekaeder begrenzenden Rauten.
Mit diesem hölzernen Exponat eines zerlegbaren Rhombendodekaeders wird der Beweis anschaulich klar. Und unsere Argumentation ist der Beweis, weil wir uns nachträglich noch einmal davon überzeugen können, dass wir von keiner speziellen Eigenschaft unseres Exponats Gebrauch gemacht haben.
Es gibt in der Mathothek noch ein zweites Objekt aus Plastikteilen, das auch zur Volumenbestimmung ohne Rechenarbeit geeignet ist und der Mathothek von Martin Dürr geschenkt wurde.
Wie es geht kann man an den folgenden Bildern erkennen:
Aus einem Rhombendodekaeder erhält man, wenn man seine Kanten bis zu deren Schnittpunkten verlängert, einen – den zugehörigen – Sternkörper:
Dieser Sternkörper trägt auf jeder seiner rautenförmigen Seitenflächen eine passende vierseitige Pyramide mit entsprechender Grundfläche und gleichschenkligen Dreiecken als Seitenflächen. Das Volumen dieses Rhombendodekaeder-Sterns zu berechnen ist wohl wieder auf den ersten Blick nicht sehr verlockend. Nach der soeben gemachten Erfahrung vielleicht doch?
Allerdings reicht ein solcher Yoshimoto-Würfel nicht aus, um uns den Weg der Erkenntnis zu zeigen. Wir brauchen zwei davon:
Die beiden Rhombendodekaeder-Sterne lassen sich auseinander klappen:
Danach lassen wir den oberen auseinander gefaltet und falten den zweiten wieder zu einem Stern. Dieser passt exakt in den aufgeklappten, der sich dann mit dem Sternkörper in seinem Inneren zu einem Würfel zusammen klappen lässt.
Also füllen die beiden Sternkörper das Volumen dieses Würfels, d.h. aber andererseits, dass ein Sternkörper das Volumen eines halben Würfels besitzt.
Mit diesen beiden Experimenten haben wir zu zwei recht ungewöhnlichen, aber interessanten geometrischen Körpern das Volumen bestimmt und – wenn man vom Halbieren und Verdoppeln absieht – das ganz ohne zu rechnen. Wesentlich ist aber dabei, dass uns bei unserer Argumentation zwar die Anschauung geleitet hat, aber von den konkreten Gegenständen unabhängig ist.
Exponate zeigen, was der Mathothek wesentliches Anliegen ist: Anschauung und Erfahrung einerseits und logische Überprüfung andererseits.
In der Mathothek gibt es eine Reihe von Knobelspielen, die auf das Rhombendodekaeder oder auf den zugehörigen Sternkörper bezogen sind.
Hier einige Beispiele:
