Geometrischer Beweis fast ohne Rechnung – Flächengleichheiten in einer ästhetischen Figur

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Die schöne Figur aus Kreisbögen gibt es nicht nur in der Mathothek. Die “blumige” Figur erscheint im Hinblick auf die gestellte Frage im ersten Anlauf weit weniger schön: Begründe, warum der Flächeninhalt der roten Figur genauso groß sein muss wie derjenige der blauen.

Nachdem man wahrscheinlich eine Weile in seinem Formelgedächtnis nur auf die sich eingebrannte Kreisflächengleichung A=π⋅r2 gestoßen ist, verdrängt eine gewisse Ratlosigkeit die ursprüngliche  Faszination. Aber wer nicht aufgibt und evtl. die zu diesem Experiment als Hilfen gemachten Teile benutzt, der wird mit einer weiteren schönen Erfahrung der logischen Art belohnt.

Mit der Formel zur Kreisberechnung und der Vermutung, dass der Flächeninhalt des orangen Kreises genau ein Viertel des weißen Kreises beträgt, ist man auf dem richtigen Weg: Bezeichnet man den Radius des großen Kreises mit R und den des kleinen mit r(=R/2), so beträgt der Flächeninhalt des großen Kreise Ag=π⋅R2 und derjenige des kleinen Kreises Ak=π⋅r2 und damit ergibt sich Ag=π⋅(2r)2=π⋅4r2=4⋅πr2=4Ak. Die Fläche des kleinen Kreises entspricht also einem Viertel des großen Kreises.

 

Die oben gelegte Figur zeigt anschaulich den Weg zur abstrakten logischen Argumentation. Da der kleine orange Kreis denselben Flächeninhalt besitzt wie der weiße Viertelkreis, muss die doppelt belegte orange Fläche exakt zur Abdeckung der weißen Randfigur fehlen. Die dunkle orange Fläche genauso groß wie die weiße unbedeckte Fläche. Somit ist in der Ausgangsfigur jede der vier roten Flächen genauso groß wie jede blaue Randfläche und somit die ausgangs gestellte Frage logisch bejaht.

Beides, die schön anzusehende geometrische Figur und die einfache, logisch zu findende Gleichheit, befriedigen jeden, der sich darauf einlässt.

Bereits in dem ersten und grundlegenden Mathematikbuch der Welt hat Euklid das Argument, dass von Gleichem Gleiches abgezogen oder dazugefügt, Gleiches bleibt oder entsteht, zu den logischen Grundlagen der Geometrie bzw. Mathematik benutzt.

Eine deutsche Fassung dieses bis heute in vielerlei Hinsicht grundlegende Buch steht den Besuchern der Mathothek in einem “Schatzkästchen” zur Verfügung.

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