Wie können wir helfen?
Nicht gerade vom teuersten Juwelier der Stadt wurde diese Kette erworben, sondern aus bunten Holzperlen von Schülern eingefädelt. Man erkennt, dass nur hell- und dunkelblaue, rote und rosa Perlen vorkommen, und zwar in Vierergruppen. Diese bestehen jeweils aus je einer Perle von jeder Farbe. Bei keiner der Teilgruppen tritt dieselbe Reihenfolge der Farben auf. Aber es fehlt auch keine weitere Möglichkeit. Die Kette enthält alle 24 Möglichkeiten, die existieren, um vier Perlen mit den gegebenen vier Farben anzuordnen. Wie kommt es zur Zahl 24? Für die erste Stelle können wir noch aus vier Farben eine auswählen, für die zweite Stelle bleiben uns dann nur noch drei Farben. Somit haben wir 4⋅3=12 Möglichkeiten, die beiden ersten Plätze einer Vierergruppe zu besetzen. Um den dritten und damit vorletzten Platz zu besetzen, stehen uns nur noch 2 Farben zur Verfügung und für den letzten nur noch eine, die bisher übrig gebliebene Farbe zur Verfügung. Daher ergeben sich genau 24(=4⋅3⋅2⋅1) mögliche unterschiedliche Anordnungen der 4 Farben.
Stellen wir uns jetzt vor, dass wir noch eine Menge von gelben passenden Holzperlen finden und unsere Kette im obigen Sinne erweitern möchten. Dann müssen wir jede Vierergruppe mit einer gelben Perle erweitern. Das kann so passieren, dass wir die gelbe Perle vor die erste Perle (der alten Vierergruppe) setzen, das ergibt 24 Möglichkeiten. Dann müssten wir noch 24-mal die Perlen jeder der vier alten Farben durch eine gelbe austauschen und die ausgetauschte Perle vor die Vierergruppe setzen. Damit bekommt man 24+4⋅24=5⋅24=120 Fünfer-Gruppen mit ungleicher Anordnung der 5 Farben.
Hier das Schema für 2 Buchstaben: AB und BA sind die einzigen Zweiergruppen mit verschiedener Anordnung. Nehmen wir nun C dazu und betrachten alle Dreiergruppen, die ungleich angeordnet sind: CAB und CBA, ACB und BCA sowie ABC und BAC, denn für die erste Stelle kann ich jeden der drei Buchstaben auswählen. Für die zweite Stelle bleiben mir dann nur noch zwei Möglichkeiten und für die dritte Stelle bleibt nur noch eine mögliche Besetzung, nämlich der bisher nicht benutzte Buchstabe. Also erhält man 3⋅2⋅1=6 mögliche Anordnungen für die drei Buchstaben A, B, C.
In der Mathematik spricht man allgemein von Elementen (Farben, Buchstaben usw.) und die Anordnung dieser Elemente, also die bestimmte Reihenfolge bezeichnet man als eine Permutation dieser Elemente. Bezeichnet man die Anzahl der Elemente mit n, dann gibt es, wie wir anhand der Beispiele vermuten können, n⋅(n-1)⋅(n-2)⋅…⋅2⋅1. Für diesen Term schreibt man kurz n! (gelesen n-Fakultät). Somit gibt es 2! Permutationen für 2, 3! Permutationen für 3 Buchstaben (Elemente), 4! bzw. 5! mögliche Permutationen für vier bzw. fünf Farben.
Die Anzahl der möglichen Permutationen steigt mit zunehmender Anzahl der zu permutierenden Elemente sehr schnell und natürlich überproportional. Teste einmal Deinen Taschenrechner, bei welcher Zahl n er bei der Berechnung von n! streikt.
Es gibt in der Mathothek ein kleines Exponat, das aus 24 kleinen kongruenten Rechtecken besteht. Diese sind mit verschiedenen Ausschnitten einer Landschaft versehen, die in einem altmodischen Stil bedruckt sind. Jedes der 24 Kärtchen ist so gestaltet, dass sein linker und rechter Rand sich an jedes andere Kärtchen bruchlos anlegen lässt. Auf diese Weise kann man ein einziges breites Landschaftsbild entstehen lassen.
Jede Permutation der 24 Kärtchen ergibt ein unterschiedliches Bild dieser Landschaft. Also gibt es 24! verschiedene Bilder. Das kann Dein Taschenrechner noch ganz gut berechnen, aber wolltest Du diese 24! Möglichkeiten tatsächlich legen und vielleicht fotografieren, reichte Deine Lebenszeit nicht aus. Natürlich kann man auch eine viel kleinere Anzahl der Kärtchen nehmen und die damit möglichen Permutationen legen. Schaffst Du alle Permutationen der unten gezeigten elf Kärtchen?
Bei einer fotografischen Aufnahme kann man bei einer kleinen Gruppe die Personen durchaus in einer Linie aufstellen. Bei fünf Personen gibt es dann, wie wir gesehen haben, 5!=5⋅4⋅3⋅2⋅1=120 Permutationen. Allerdings kommen die aus ästhetischen Gründen oder anderen Gesichtspunkten nicht alle gleichermaßen infrage. Das gilt nicht, wenn wir uns die Möglichkeiten mit fünf verschiedenfarbigen Spielfiguren veranschaulichen. Nehmen wir aber an, dass die fünf Personen (die fünf verschiedenfarbigen Spielfiguren) in einem Kreis aufgestellt werden sollen, wobei zwei Aufstellungen nur dann als unterschiedlich betrachtet werden, wenn sich Nachbarschaften ändern. Wie viele Permutationen sind jetzt möglich?
Auch zur kreisförmigen Permutation gibt es ein interaktives Objekt in der Mathothek: Ein drehbarer Tortenteller mit einem runden Tisch und fünf Stühlen mit jeweils verschiedenfarbigen Kissen aus einem Puppenhaus.
Bei einer ersten Aufstellung der fünf Stühle in einem Kreis um den Tisch drehen wir die Tortenplatte und sehen, dass sich die Permutation nicht ändert und jeder Stuhl natürlich seinen linken und auch rechten Nachbarn behält. Daher würde man ohne Bezug zu dem Raum außerhalb des Stuhlkreises keinerlei Veränderung feststellen und diese beiden Anordnungen der fünf Stühle nicht von der oberen Stellung unterscheiden können.
Nehmen wir einen Stuhl und stellen ihn auf einen der fünf Plätze. Anschließend stellen wir links davon den zweiten Stuhl, dazu stehen uns noch vier Farben zur Auswahl, dann stellen wir den dritten Stuhl, für den wir noch eine von drei Farben zur Verfügung haben. Für den vierten Platz sind es noch zwei und für den fünften und letzten Platz bleibt nur noch eine Farbe. Es gibt damit 4⋅3⋅2⋅1=24 Möglichkeiten, die fünf Stühle im Kreis unterscheidbar anzuordnen.
Diese beiden Stellungen der Stühle zeigen drei verschiedene Anordnungen des Stuhlkreises:
Kehren wir zur Perlenkette am Anfang zurück. Denken wir uns die Kette mit den 24 Vierergruppen geschlossen und ignorieren den Verschluss und fragen uns, wie viele Möglichkeiten es dann gibt, die 24 Gruppen unterscheidbar in einem Kreis anzuordnen? Entsprechend der obigen Überlegungen gibt es 23!(=23⋅22⋅21⋅ … ⋅1≈2,6⋅1022) Möglichkeiten.
Ein interessantes Beispiel dafür, wie stark die Anzahl der Permutationen mit weiteren Elementen anwächst, zeigt ein weiteres “Schmuckstück” der Mathothek, nämlich die Googolkette:
Diese bunte Perlenkette besteht aus 70 Perlen. Jede Perle ist hinsichtlich Farbe oder Form von allen anderen verschieden. Die abgebildete Kette ist nur eine willkürliche Anordnung. Mit den 70 Perlen könnte man mehr als 10100 (eine Eins mit 100 Nullen) verschiedene Ketten einfädeln, die sich nur durch die Reihenfolge der Perlen unterschieden.
Diese Zahl bekam von dem neunjährigen Neffen des amerikanischen Mathematikers Edward Kasner den erfundenen Namen “googol” (1938). Die klangliche Nähe an den Namen der Suchmaschine “Google” ist kein Zufall!
Diese Kiste mit vielen Spielfiguren lässt sich gut zum Veranschaulichen von Permutationen etc. benutzen.