Enthält das Lügenbuch tatsächlich nur falsche Sätze? – Mit scharfer Logik lässt sich die Wahrheit herausfinden!

Wie können wir helfen?

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In der Mathothek gibt es ein kleines Büchlein, eine Handschrift, in der auf jeder der 50 Seiten ein Satz steht, der behauptet, dass in diesem Heft genau so viele falsche Sätze stehen, wie die Seitenzahl angibt. Also auf der 5. Seite steht:”In diesem Heft stehen genau 5 falsche Sätze.” und auf der letzten, der 50. Seite liest man, dass in diesem Heft genau 50 falsche Sätze stehen. Nur durch strenges logisches Nachdenken lässt sich herausfinden, auf welchen Seiten nun falsche und auf welchen wahre Sätze stehen. Dabei stellt die Formulierung, dass es genau n falsche Sätze sind, sicher, dass es nicht mindestens n falsche Sätze, aber auch nicht höchstens n falsche Sätze sind.

Zur Lösung führen folgende Überlegungen:

Es kann nur höchstens einen wahren Satz in dem Lügenbuch geben. Es müssen demnach mindestens 49 Sätze falsch sein.

Dann überlegt man sich, ob eventuell alle 50 Sätze falsch sein können. Dazu nimmt man an, dass es so wäre, und überlegt sich, dass dann insbesondere auch der Satz auf Seite 50, also der letzten Seite, falsch wäre. Das ergibt einen Widerspruch zur Annahme, weil dann höchstens 49 Sätze falsch wären, also nicht alle 50.

Aus den beiden Ergebnissen, dass mindestens 49, aber nicht alle 50 Sätze falsch sind, folgt logisch, dass es genau einen wahren Satz gibt, nämlich der auf Seite 49.

Vier Personen machen folgende Aussagen:

  • Alexa:”Einer und auch nur einer von uns lügt immer.”
  • Karla:”Zwei von uns – nicht mehr und nicht weniger – lügen stets.”
  • Petra:”Genau drei von uns lügen immer.”
  • Frieda:”Wir alle lügen immer.”

Wer von den vier Mädchen lügt, alle oder sagt auch jemand die Wahrheit?

Wenn Du Dich mit dem Lügenbuch auseinandergesetzt hast, erkennst sicher die ähnliche Struktur zu dieser Aufgabe und dann wohl auch die Lösung. Allerdings kann man hier auch alle Möglichkeiten überprüfen, z.B. Alexa sagt die Wahrheit, Karla und Petra ebenso, nur Frieda lügt. Das liefert aber einen Widerspruch, weil dann die anderen drei lügen würden und damit auch Alexa. Da jede der vier Personen unabhängig voneinander die Wahrheit sagen oder lügen kann, gibt es 2⋅2⋅2⋅2=16 solcher Kombinationen, die auf Widerspruchsfreiheit geprüft werden müssten. Das ist noch zu bewältigen. Aber bei den 50 Kombinationen des Lügenbuchs wird es zumindest sehr langweilig. Und was wäre, wenn das Lügenbuch 1000 Seiten hätte? Dann hilft nur das logische Denken. Während der Computer stur seine Algorithmen abarbeiten würde, ist der Mathematiker faul und versucht mit seiner Kreativität durch logisches Denken die stumpfsinnige Arbeit zu vermeiden.

In der Mathothek gibt es nicht nur sehr viele Knobeleien, sondern eine große Anzahl interaktive Objekte, bei denen es um logische Probleme, Paradoxien und Antinomien geht. Dabei handelt es sich um klassische Probleme als auch um moderne, z.B. aus der Mengenlehre (“Barbier”-Antinomie), aber auch der Wason-Test.

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