Wie können wir helfen?
Genau neun Teile fordern den Besucher auf, mit ihnen einen Würfel zu bilden. Dazu gibt es im Wesentlichen zwei oder drei verschiedene Wege, je nach Temperament, Struktur und Vorerfahrung des Herausgeforderten:
1. Kurz hinsehen und dann loslegen. Probieren, scheitern und neu starten. Meist endet dieser Weg dann mit dem Aufgeben oder einer mehr oder weniger zufälligen Lösung, aber wenig Gewinn an Einsicht und neuen Erkenntnissen.
2. Der analytisch-logische Weg: Man schaut sich die neun Teile an und versucht, das Ziel in geplanten und überlegten Schritte zu erreichen. Ein ausgesprochen erfolgversprechender Ansatz.
3. Das sind wohl die häufigsten eingeschlagenen Wege, nämlich die Kombination von ausprobieren und – vor allem durch Fehlerüberdenken – logischen Überlegungen zum Ziel zu kommen.
Durch die Betrachtung der neun Teile können wir zunächst auf das Volumen des Würfels schließen. Da sind zunächst drei gleiche Würfel und sechs gleiche Quader. Jeder dieser Quader enthält vier von den kleinen Würfeln. Also muss der zu bauende Würfel genau 3+6⋅4=27 kleine Würfel beinhalten. Damit ist die Kantenlänge des großen Würfels mit 3 Kantenlängen des kleinen Würfels bestimmt.
Aus dieser Erkenntnis können wir sofort bestimmte Möglichkeiten ausschließen, z.B. können in keiner Ebene des Würfels zwei Quader flach nebeneinander liegen. In jeder Ebene liegen bei einem 3x3x3-Würfel insgesamt 9 “kleine Würfel”, d.h. aber auch, dass in jeder Ebene mindestens ein einzelner kleiner Würfel liegen muss, denn mithilfe der Quader kann man nur gerade Zahlen in eine Ebene packen: Entweder vier, wenn der Quader in die Ebene gelegt wird, oder zwei, wenn er hochkant gestellt wird. Da es nur drei kleine Würfel insgesamt gibt, kann es aber auch nicht mehr als einen in jeder Ebene geben. Da es in dem großen Würfel drei Möglichkeiten gibt, ihn in drei parallele Ebenen zu teilen, heißt das, dass sich die neun Ebenen die drei kleinen Würfel teilen müssen. Und die Überlegungen zur Lösung dieses Problems führen zu entsprechenden Symmetrien, die der große Würfel haben muss. Man kommt zu der Erkenntnis, dass die drei kleinen Würfel eine Art Treppe durch den großen bilden müssen. Auf der Basis dieser Erkenntnis, dass die kleinen Würfel eine Raumdiagonale für den Lösungswürfel bilden, lässt sich dieser dann recht einfach durch die Quader vervollständigen. Hier noch einige Bilder auf dem Lösungsweg:
Nachdem der letzte Quader eingefügt ist, sieht der fertige Conway-Cube so aus:
Der Conway-Cube ist wegen seiner Logik besonders faszinierend: Nicht “wildes Drauflos und Ausprobieren” führt zu dem ästhetischen Ergebnis, sondern klare und einfache Überlegungen. Sie leiten schrittweise zur Lösung, und zwar zur bis auf Drehungen und Spiegelungen der einzigen Lösung.
Der Mathematiker John Horten Conway (geb. 1937) ist super befähigt, tiefgründige Mathematik und scheinbar einfache Objekte und Spiele zu verbinden. Deswegen kann man ihm in der Mathothek noch mehrfach begegnen.
Die Mathothek bietet ein weiteres Exponat an, das mit diesem eng verwandt ist:
Dieses Mal besteht es wiederum aus kleinen Würfeln, und zwar fünf Stück, und aus zwei Arten von Quadern, und zwar sind es jeweils sechs, die dieselbe Größe und Form haben. Nennen wir die Kantenlänge eines kleinen Würfels 1, so haben die Quader die Abmessungen (1) Länge = 4, Breite = 2, Höhe = 1 und (2) Länge = 3, Breite = Höhe = 2.
Wiederum besteht die Aufgabe darin einen Würfel aus den 17 Teilen zusammenzusetzen. Auf Anhieb erscheint die Aufgabe doch ziemlich schwer. Wer aber vorher den Conway-Würfel gelöst und verstanden hat, kann hier natürlich punkten. Der Weg, wie vorzugehen ist – ohne wildes Probieren – ist natürlich Weg zwei. Aber auch die anderen Überlegungen, die man am Aufbau des Conway-Würfels gelernt hat, sind sichere Hilfsmittel zur Lösung des neuen, erweiterten Problems. Besonders hilfreich sind dabei die interessanten Symmetrien bei dieser großen Variante des Conway-Cubes.
Hier ein paar Bilder auf dem Lösungsweg:
Aller guter Dinge sind drei. Es gibt noch ein weiteres Exponat in der Mathothek, das eng mit dem Conway-Cube verwandt ist. Dabei handelt es sich um einen “deformierten” Cube:
Dieser “schiefe” Conway-Cube besteht aus drei deformierten kleinen Würfeln und sechs entsprechend verformten Quadern von derselben Größe und Form. Dazu gibt es einen hölzernen Behälter aus drei Rhomben (=Rauten oder Karos), die an einer Ecke zusammenstoßen. Dieser Behälter zeigt die Verformung: zwei Diagonalen wurden verändert und im selben Verhältnis auch die entsprechenden Diagonalen in den Würfelchen und Quader. Wer sich zuvor mit dem Conway-Cube auseinandergesetzt hat, entdeckt schnell Parallelen und Unterschiede zwischen diesem Objekt und dem Conway-Cube: Es sind eigentlich die gleichen Bauteile, nur sind aus den Quadraten Rhomben und aus Rechtecken Parallelogramme geworden. Auch die Anzahlen der entsprechenden Teile stimmen überein. Logisch, dass man sofort die am Conway-Cube gemachten Erfahrungen zu übertragen versucht:
Mit dem kleinen Eckstein wird die letzte Lücke gefüllt und die Lösung erreicht:
Die eigentliche Schwierigkeit bei dieser letzten Herausforderung ist es, die Steine so zu drehen, dass sie in die als richtig erkannte Lücke hinein passen, was durchaus schwerer ist, als es den Anschein hat. Weiter Informationen findest Du auch im Artikel zum Soma-Würfel.
Es gibt ein weiteres Exponat in der Mathothek mit einem Bezug zum Conway-Cube. In diesem Fall hilft die Erfahrung mit den anderen hier gezeigten Beispielen beim Aufbau dieses “Schalenwürfels”. Es gibt hier noch andere Lösungen und Deutungen, aber die Lösung nach Conway-Art ist im Ergebnis besonders schön, weil sie sehr symmetrisch ist.
So zeigt dieser Artikel sehr gut, wie man in der Mathothek erfolgreich Lernen lernt: Planen und überlegen, überprüfen, nach Fehlern die richtigen Änderungen vornehmen und so schrittweise das Ziel erreichen. Aber man lernt auch, dass durch kreativen Vergleich in einer neuen Situation die angepasste Anwendung gemachter Erfahrungen sehr wohl zum Ziel führen kann.