Warum es für jeden Menschen ein eigenes Zahlensystem geben könnte – Es gibt noch andere Stellenwertsysteme als Dezimal- und Binärsystem

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In der Mathothek gibt es ein niedliches Exponat im Puppenküchenformat, das aus der Spielwelt eines Landes stammen könnte, in dem das 5er-System herrscht. Dieser Miniabakus funktioniert wie der von unseren Kindern benutzte Abakus, nur sind hier fünf verschiebbare Perlen in einer Reihe und dort zehn. In der untersten Reihe hat hier wie dort eine Perle den Wert 1. Aber in der zweiten Reihe des 10er-Abakus hat eine Perle den Wert 10 und auf dem 5er-Abakus den Wert 5, in der dritten Reihe sind es die Werte 102=100 bzw. 52=25, folglich in der vierten die Werte 103=1000 bzw. 53=125. In der fünften Reihe sind die Werte 104=1000 bzw. 54=625.

Zwei Beispiele: 

Linkes Bild zeigt im 5er-System die Zahl 12425, nämlich 2x1+4x5+2x25+1x125=2+20+50+125=19710.

Rechtes Bild zeigt im 5er-System die Zahl 100025, nämlich 2x1+0x5+0x25+0x125+1x625=62710.

Addition und Subtraktion werden mit den Zahlen in entsprechender 5er-Darstellung wie auf dem 10er-Abakus ausgeführt.

Es gibt zum Verständnis und zum Rechnen im 5er-System noch ein Exponat in der Mathothek: ein Rechenbrett und Rechenpfennige.

Mit dem Rechenbrett kann vor allem addiert und subtrahiert werden.

Wie die Addition funktioniert, zeigt das folgende Beispiel: 

Die beiden Zahlen lauten im 5er-System a=101245 (=66410) und b=24205 (=36010). Gesucht wird die Summe a+b. Zunächst werden die Rechenpfennige spaltenweise nach oben geschoben.

Anschließend werden die Pfennige entsprechend dem 5er-System geordnet: Liegen in einer Spalte mehr als vier Pfennige, so wird ein Übertrag gemacht. In dem obigen Beispiel liegen in der 25er-Spalte fünf Pfennige, d.h. das ergibt einen Pfennig mehr in der 125er-Spalte und keinen Pfennig in der 25er-Spalte. Wir erhalten dann folgendes Bild:

Unsere gesuchte Summe der beiden Zahlen ist 13044im Fünfer-System und ist leicht ins Zehner-System zu übersetzen:   1x625+3x125+0x25+4x5+4x1=102410.

Dieses Exponat besteht aus vielen kongruenten Holzkreisen, die teilweise aufeinander geleimt und mit verschiedenen Farben angemalt sind. Mit den verschiedenen Türmchen lassen sich mehrere Stellenwertsysteme veranschaulichen, in denen man alle Türme von der Höhe eins bis zu einer bestimmten Oberhöhe aufstapeln kann.

Als erstes Beispiel nehmen wir das oben schon ausführlich behandelte 5er-System:

Es gibt vier 1er-Türme, vier 5er-Türme und ein 25er-Turm. Damit lassen sich nun Türme jeder Höhe von 1 bis 49 bauen, im 5er-System von 15 bis 1442. Warum gibt es nur vier 1er und auch nur vier 5er? Fünf 1er ergeben ein 5er und fünf 5er einen 25er.

Die drei Türme stellen die im 5er-System die Zahl 1445 dar, das ist die größte Zahl, die mit den vorhandenen Kreisen darstellbar ist. Also ist der höchste mögliche Turm, der mit der Höhe 49. Würde man eine Kreisscheibe dazunehmen, d.h. den Turm 50 hoch machen, so müsste man zwei 25er aufeinander setzen. Im 5er-System wäre das dann die Zahl 2005. Im 5er-System ergibt 1445+15=2005.

 Bei der nächsten Darstellung handelt es sich um die 5er-Zahl 1045.

Auf diesem Bild wird die Zahl 1235 dargestellt und dazu der Turm mit der Höhe 38:

Die blauen Türme bestehen aus einer, drei und neun aufeinander geklebten Scheiben. Jeden der Türme gibt es zweimal. Somit kann man mit ihnen die Zahlen im 3er-System bis 2223 (=2x9+2x3+2x1= 2610) darstellen und jeden Turm bis zu einer Höhe von 26 bauen. Wollte man dieses Objekt erweitern, so müsste ein neuer Stufenturm mit 33=27 zusammengeklebten Kreisscheiben hinzugefügt werden. Im 3er-System gilt nämlich: 2223+13=10003.

Auf den beiden unteren Bildern wird die Zahl 2123 im 3er-System dargestellt und der entsprechende Turm mit der Höhe 2x9+1x3+2x1=2210 gezeigt.

Auf dem nächsten Bild sind die Stufentürmchen (hellgrün) des 5er-Systems, des 4er-Systems – das sind die roten Türme – und des 3er-Systems (blau) zu sehen. Nimmt man, die aus zwei gelben Kreisen und die aus acht orangefarbenen Kreisen gebildeten Türme zu den roten Stufentürmchen des 4er-System hinzu, so hat man die ersten fünf Stufentürme des Binär- oder 2er-Systems.

Das Stellenwertsystem hat sich weltweit in Form des Dezimalsystems verbreitet und ist mit seinen indo-arabischen zehn Ziffern in allen Sprachen der Welt sofort lesbar und verständlich. Dass schon lange – wenn auch zunächst nur einer kleinen Gruppe von Wissenschaftlern – bekannte Dualsystem war wie geschaffen für den Computer – nur zwei Zustände 0 und 1 –, das passte. Die Stellenwertsysteme haben alle den ganz großen Vorteil, dass man praktisch mit einer endlichen Menge von Zeichen jede noch so große Zahl schreiben kann. Je größer die Anzahl der Zeichen (=Ziffern) ist, desto kürzer sind die Ziffernfolgen bei der Darstellung derselben Zahl. Umso kleiner ist das auch Einmaleins. So viele Vorteile die kleinstmögliche Ziffernmenge mit 0 und 1 des Binärsystems auch hat, für den Alltagsgebrauch wäre es schon wegen der Länge seiner Ziffernfolgen unbrauchbar. Das bewährte Dezimalsystem ist ein guter Kompromiss zwischen wenig Zeichen und erträglicher Länge, beruht ganz handfest auf unseren zehn Fingern, mit denen bei Kleinkindern alles Zählen beginnt. Natürlich entsteht bei jedem anderen Stellenwertsystem das Problem mit der Sprache: Unsere Zahlworte bauen auf dem Dezimalsystem auf, auch wenn es sprachgeschichtlich interessante Hinweise auf die Geschichte des Zählens gibt.

Gibt es nun tatsächlich für jeden Menschen ein eigenes Stellenwertsystem – auch für alle noch nicht geborenen Menschenkinder?

Die Antwort lautet eindeutig: Ja! Jede natürliche Zahl b, nur nicht 0 und nicht 1, kann als Basis für ein Stellenwertsystem ausgewählt werden, und zum Glück gibt es unendlich viele natürliche Zahlen.

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