Mit den gemusterten Kärtchen lassen sich alle sieben Symmetrietypen von Bandornamenten bilden. In dem Kästchen befinden sich ca. 70 solcher quadratischer Plättchen mit einem Motiv aus blauem Dreieck und rotem Herzen. Es gibt sie in zwei Varianten, die selbst keinerlei Symmetrie besitzen. Die Kärtchen der beiden Gruppen sind spiegelbildlich zueinander. Dies ist notwendig, weil die Achsenspiegelung keine eigentliche Bewegung in der Ebene ist, sie kann nicht durch Verschiebung oder Drehung in der Ebene erzeugt werden.
Bei der Untersuchung der Symmetrietypen tritt in jedem Fall als Symmetrieabbildung die Translation auf, die grundlegend für die Bandornamentik ist. Bei den einzelnen Symmetrietypen können auch Achsenspiegelung mit Längs- oder Querachse, Punktspiegelung oder Gleitspiegelung auftreten. Aufgrund der Symmetrieeigenschaften eines Bandornaments gibt es nur folgende Symmetrietypen:
Bei der unten abgbildeten Tafel handelt es sich nicht um eine Choreografie, sondern eine Übersicht über die sieben Symmetrietypen (Symmetriegruppen) der Bandornamentik, die mit dem rechten Fuß und dessen Spiegelbild, dem linken Fuß, arbeitet.
Sollte jemand meinen, dass es doch wohl mehr als sieben Möglichkeiten gäbe, so bietet das Kästchen die Chance, seine Idee zu realisieren. Aber dann muss er das Ergebnis streng überprüfen. Und er wird feststellen, dass sein neuer Entwurf in eine der sieben Gruppen gehört, solange er keinen Fehler macht, jedenfalls dann.
Die unbegrenzten Möglichkeiten für Designer, Maler und Kinder immer wieder mit Farben und Formen, neue Bandornamente zu schaffen, um den Schönheitssinn der Menschen anzusprechen, wird durch die mathematische Tatsache, dass es nur sieben Typen gibt, nicht begrenzt, aber vielleicht sogar noch angeregt.
In der Mathothek gibt es auch ein Exponat für die 17 Symmetriegruppen der Ebene, mit Hinweisen auf die mathematischen Gründe dafür, dass die Symmetrieabbildungen nicht beliebig kombinierbar miteinander sind:
→ Die 17 Symmetriegruppen der Ebene – 100 Stoffproben mit allen Symmetrietypen