Wie viele neunstellige Zahlen lasse sich bilden, bei denen alle neun Ziffern von 1 bis 9 auftreten?
Beispiele:
987.654.321 oder 123.456.789 oder 259.413.786 oder 381.654.729 oder 531.248.976 oder, oder, oder …
Nun, es sind genau alle Permutationen unserer zehn Ziffern ohne die Null. Dabei lassen sich alle diese so bilden, dass man zunächst die erste der neun Stellen mit einer der neun Ziffern besetzt. Das sind 9 Möglichkeiten. Bei jeder dieser 9 Möglichkeiten fügen wir eine weitere Ziffer hinzu, dazu gibt es jetzt jeweils noch 8 Ziffern, die zur Auswahl stehen, also 8 Möglichkeiten. Also gibt es insgesamt für die beiden ersten Ziffern 9⋅8=72 Möglichkeiten. Für die ersten drei Ziffern gibt es somit 9⋅8⋅7 Möglichkeiten, für die ersten vier Stellen sind es 9⋅8⋅7⋅6 Möglichkeiten usw. Für die letzte Stelle bleibt nur noch eine Ziffer übrig, d.h. nur eine Möglichkeit die neunstellige Zahl komplett zu machen. Insgesamt gibt es also 9!=9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1=362.880 Permutationen und somit auch genau 362.880 mögliche verschiedene Zahlen. die alle neun Ziffern enthalten.
Steckbrief der „Superzahl“:
- Sie muss neunstellig sein und alle neun Ziffern von 1 bis 9 besitzen.
- Die ersten beiden Ziffern allein bilden eine durch zwei teilbare Zahl.
- Die ersten drei Ziffern bilden eine durch drei teilbare Zahl.
- Die ersten vier Ziffern bilden eine durch vier teilbare Zahl.
So geht es weiter bis zur Teilbarkeit der ersten acht Ziffern durch 8 und schließlich muss die ganze Zahl durch 9 teilbar sein.
Zum besseren Verständnis gibt es einige Legebeispiel zu dieser Aufgabe, mit denen Du die Bedingungen für die „Superzahl“ überprüfen kannst.
Tatsächlich gibt es unter den 362.880 Zahlen, die man aus allen von 0 verschiedenen Ziffern bilden kann, nur eine einzige „Superzahl“, die alle Teilbarkeitsbedingungen erfüllt. Da es zwar einfach ist, eine gegebene Zahl zu untersuchen, ob sie die gestellten Bedingungen erfüllt, aber ziemlich schwierig ist, sie selbst zu konstruieren, findest Du die Superzahl unter den am Anfang gegebenen Beispielen.
Zum besseren Verständnis und zum schrittweisen Aufbau der „Superzahl“ gibt es diese in entsprechende Teile zerlegt zum Legen:
Diese „Superzahl“ fand ich in einer Ausstellung mit Bildern von Jürgen Felger im Rathaus von Wiesbaden im Jahr 2022 mit dem Titel „Mathematik in Farbe“.