Wie können wir helfen?
Sechs Richtige und auch noch die richtige Superzahl, das wäre der Traum vieler Spieler! Wäre ein Lottospiel “7 aus 49” nicht näherliegender als “6 aus 49 mit Superzahl”?
Einige Freunde haben bisher mehrfach “6 aus 49 mit Superzahl” gespielt, aber bisher noch nicht einmal ihre Einsätze zurückbekommen. Ihre getippte Superzahl ist bisher noch nicht gezogen worden. Nach einer Weile entspann sich unter ihnen eine Diskussion, ob statt “6 aus 49 mit Superzahl” nicht “7 aus 49” – falls es das gäbe – größere Gewinnchancen bieten würde.
Spontan meinte Paul, dass dies wohl nicht richtig sei, da für die Superzahl nur eine von zehn mögliche Zahlen dazukämen, bei 7 aus 49 aber stünden 49-6=43 zur Verfügung. Allerdings gab es Widerspruch und Unzufriedenheit im Hinblick auf diese Argumentation
In der Mathothek gibt es zwei Ziehungsgeräte, mit denen sich die beiden Ziehungsmethoden simulieren lassen:
Natürlich würde kein Notar den “einwandfreien Zustand dieser Ziehungsgeräte” bestätigen, aber zur spielerischen Veranschaulichung sind sie sehr gut geeignet.
Ziehung “6 aus 49 mit Superzahlzahl”: Es werden 49 Kugeln mit den Zahlen von 1 bis 49 eingefüllt und nach ausreichendem Durchmischen werden nacheinander 6 Kugeln zufällig und ohne Zurücklegen gezogen und dann von der kleinsten zur größten Zahl angeordnet. Anschließend wird noch eine der Zahlen von 0 bis 9 zufällig als Superzahl gezogen.
Ziehung “7 aus 49”: Wieder würden die 49 Kugeln in die Trommel gefüllt und gut gemischt, aber statt 6 würden jetzt 7 Kugeln zufällig und ohne Zurücklegen gezogen und anschließend noch der Größe nach angeordnet.
Grundlegend bei der Lottoziehung ist, dass 6 bzw. 7 Kugeln zufällig und ohne Zurücklegen gezogen werden. Es kann also keine der Zahlen mehrfach vorkommen. Aber auch die Reihenfolge der gezogenen Zahlen ist unwesentlich, deshalb werden sie am Ende der Größe nach angeordnet, d.h. alle möglichen Reihenfolgen, Anordnungen oder Permutationen der gezogenen Zahlen entsprechen demselben Tipp. (Andernfalls müsste auf dem Tippschein ebenfalls eine bestimmte Reihenfolge gekennzeichnet sein.) Daher handelt es sich beim Lotto um eine zufällig bestimmte 6-elementige Teilmenge aus einer 49-elementigen Grundmenge. Wie viele Möglichkeiten gibt es dafür? Halten wir uns an den Ziehungsvorgang und betrachten zunächst ein Beispiel. Angenommen, die richtigen Lottozahlen wären 9, 21, 26, 33, 34, 40. Dann gäbe es 6⋅⋅⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1=720 mögliche verschieden Anordnungen oder Permutationen dieser sechs Zahlen, d.h. in unserem Fall, dass es 720 mögliche Ziehungen gibt, die alle diesen Glückstipp lieferten. Insgesamt gibt es 49⋅48⋅47⋅46⋅45⋅44 mögliche verschiedene Ziehungen (mit Berücksichtigung der Reihenfolge der gezogenen Zahlen). Sei x die Anzahl möglichen Teilmengen, so gibt es jeweils 720 Permutationen für jede Teilmenge und damit erhalten wir die Gleichung 49⋅48⋅47⋅46⋅45⋅44=720x oder x=13.983.816. Bei “6 aus 49” gibt somit fast 14 Millionen Möglichkeiten für “sechs Richtige”. Für die Superzahl gibt es dann nochmal 10 Möglichkeiten, sodass es genau 139.838.160 Möglichkeiten beim Spiel “6 aus 49 mit Superzahl” gibt.
Wie viele Möglichkeiten y es nun bei “7 aus 49” gibt, ist nun einfach: 49⋅48⋅47⋅46⋅45⋅44⋅43=1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6⋅7⋅y oder y=(49⋅48⋅47⋅46⋅45⋅44⋅43)/(1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6⋅7)=85.900.584.
Tatsächlich war die anfängliche Argumentation nicht stichhaltig. Bei “7 aus 49” gibt es weit weniger mögliche Ausgänge als bei “6 aus 49 mit Superzahl” und damit wären die Gewinnchancen bei “7 aus 49” auch größer.
Mit dem Glücksrad der Mathothek kann man kein “Lotto” simulieren, und zwar nicht nur, weil die Grundmenge nur 32 Zahlen hergibt. Beim mehrfachen Drehen des Glücksrads können natürlich Wiederholungen auftreten, weil keine erhaltene Zahl aus der Grundmenge nach der “Ziehung” herausgenommen wird. Das Glücksrad ist für Zahlenlotterie-Spiele geeignet, wo es – im Gegensatz zur Lottoziehung – auf die Anordnung der Zahlen ankommt.
Natürlich sind das Glücksrad und auch die beiden Ziehungsgeräte geeignet, Zahlenfolgen zu generieren, bei denen die Reihenfolge oder Anordnung wesentlich sind oder bei denen Wiederholungen auftreten dürfen oder nicht.
In der Wahrscheinlichkeitsrechnung spricht man allgemein von Stichproben und unterscheidet dabei zwischen
- nicht geordneten Stichproben ohne Wiederholung
- nicht geordnete Stichproben mit Wiederholung
- geordnete Stichproben ohne Wiederholung
- geordnete Stichproben mit Wiederholung
Erstere haben wir oben in Beispielen gesehen. Teilmengen sind nicht geordnete Stichproben ohne Wiederholung. Geordnete Stichproben ohne Wiederholung sind Permutationen oder “Teilpermutationen”.
Lotto lässt sich aber auch noch mit einer Urne, die in der Mathothek zur Verfügung steht, simulieren:
Statt der verschiedenen angebotenen Kugeln benutzt man beispielsweise für “6 aus 49” die 49 hölzernen Lottokugeln. Die gezogene Kugel darf beim Lotto-Spiel natürlich nicht zurück in die Urne gelegt werden (Stichprobe ohne Wiederholung). Urnen mit Kugeln eignen sich besonders gut für Experimente mit Wiederholung. In dem Fall muss die gezogene Kugel wieder zurückgelegt und vor der neuen Ziehung der Inhalt der Urne gut gemischt werden.