Würfelspiel für zwei Spieler – Der zweite kann sich immer für die größere Chance entscheiden

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In der Mathothek gibt es sieben Gruppen von jeweils drei, vier, sechs oder acht Würfeln mit ungewohnten Augenzahlen. Das Experiment sieht jeweils so aus: Ein erster Spieler wählt einen Würfel aus der gemeinsam vorher ausgewählten Gruppe von Würfeln für sich. Dann wählt der zweite Spieler aus den verbliebenen Würfeln derselben Gruppe seinen Würfel aus. Wer von den beiden beim anschließenden Würfeln die größere Augenzahl wirft, hat die Runde gewonnen. Jede der Würfelgruppen ist nun so gestaltet, dass bei jeder Entscheidung des ersten der zweite unter den restlichen Würfeln dieser Gruppe einen Würfel findet, der ihn mit der größeren Wahrscheinlichkeit die größere Augenzahl werfen und damit den ersten Spieler schlagen lässt. 

Diese Aussage soll am Beispiel mit den vier Würfeln gezeigt werden:

Zunächst betrachten wir die vier Würfel:

  1. roter Würfel trägt die Zahlen 4, 4, 4, 4, 0, 0
  2. gelber Würfel trägt die Zahlen 5, 5, 5, 1, 1, 1
  3. blauer Würfel trägt die Zahlen 3, 3, 3, 3, 3, 3
  4. grüner Würfel trägt die Zahlen 6, 6, 2, 2, 2, 2

Wenn die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Würfel A die größere Augenzahl zeigt als Würfel B, größer ist als für das umgekehrte Ereignis, dann sagen wir, dass der Würfel A stärker ist als der Würfel B.

Die Aussage, dass egal, welchen Würfel der erste Spieler wählt, der zweite immer einen stärkeren Würfel wählen kann, erscheint uns paradox. Was ist, wenn der erste Spieler den “stärksten” Würfel von den vieren gewählt hat? Die Aussage kann nur sinnvoll sein, wenn es unter den vier Würfeln keinen stärksten gibt, d.h. dass keiner der vier Würfel stärker ist als jeder der drei anderen.

Ein altes Ritual für objektive Entscheidungen zwischen zwei Personen ist Papier – Schere – Stein. Schere ist stärker als Papier, Papier ist stärker als Stein und Stein ist stärker als Schere. Es gibt hier kein stärkstes Instrument. Dieses Entscheidungsritual ist nicht “transitiv”, wie wir es von anderen Ordnungsrelationen her kennen. Und das ist bei unseren vier Würfeln auch so. Es ist

  • Gelb stärker als Rot
  • Rot stärker als Blau
  • Blau stärker als Grün
  • Grün stärker als Gelb

Diese Liste verschafft dem zweiten Spieler immer die bessere Chance, weil er immer sofort weiß, welchen Würfel er wählen muss, nachdem der erste seine Entscheidung getroffen hat. Bei der richtigen Wahl seines Würfels verdoppelt der zweite Spieler seine Gewinnchance.

Dazu müssen wir nun herausfinden, dass in den vier Fällen der erste Würfel (der Würfel des zweiten Spielers) mit mehr als 50 Prozent die größere Augenzahl zeigt. Dazu benutzen wir jeweils eine Tabelle mit der wir alle möglichen Ausgänge erfassen können.

Gelb und Rot:

  1 1 1 5 5 5
0 x x x x x x
0 x x x x x x
4 o o o x x x
4 o o o x x x
4 o o o x x x
4 o o o x x x

Diese Tabelle enthält in der Eingangszeile die möglichen Ergebnisse des gelben Würfels und in der Eingangsspalte diejenigen des roten Würfels. Die Tabelle ermöglicht jetzt alle möglichen Ausgänge für das Werfen beider Würfel darzustellen und damit zu entscheiden, welcher der beiden Würfel die höhere Augenzahl geliefert hat. Dabei bedeutet x, dass Gelb und o, dass Rot gewonnen hat. Rot gewinnt also in 24 von 36 Fällen, d.h. mit einer Wahrscheinlichkeit von 2/3. Gelb ist stärker als Rot.

Genauso lässt sich zeigen, dass Rot gegen Blau, Blau gegen Grün und Grün gegen Gelb mit einer Wahrscheinlichkeit von 2/3 gewinnt.

Wir haben also die Situation (“→” bedeutet “ist stärker als”):

Gelb → Rot → Blau → Grün → Gelb → Rot → usw.

Dieses Spiel und damit dieses Experiment stammt von dem amerikanischen Statistiker Bradley Efron und trägt daher auch die Bezeichnung die nicht- transitiven Würfel von Bradley Efron.

 

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