Wie können wir helfen?
Der Satz von Viviani ist eine schöne Aussage über das gleichseitige Dreieck. Beim gleichseitigen Dreieck sind alle drei Seiten gleichlang, alle Innenwinkel sind gleichgroß und alle Mittelsenkrechten sind Symmetrieachsen, es gibt drei Drehungen (um 120°, 240° und 360°), die das gleichseitige Dreieck mit sich zur Deckung bringen, die drei Höhenlinien sind mit den drei Winkelhalbierenden, den drei Seitenhalbierenden und auch mit den drei Symmetrieachsen identisch. Es ist von allen Dreiecken das, das die meisten Symmetrien besitzt.
Das Folgende scheint auf den erste Blick gegen eine Symmetrie zu sprechen. Dazu betrachten wir irgendeinen Punkt im Inneren des gleichseitigen Dreiecks und fragen uns nach den Abständen dieses Punktes von den drei Seiten des Dreiecks. Der Abstand eines Punktes von einer Geraden ist das Lot des Punktes auf die Gerade.
Das gleichseitige Dreieck ist in drei Teildreiecke (rot, blau und grün) zerlegt worden. Der beliebig gewählte Punkt im Inneren ist der Treffpunkt dieser Dreiecke. Die Lote und damit die drei Abstände dieses Punktes von den Dreiecksseiten stimmen mit den Höhen der Teildreiecke überein. Alle Teildreiecke haben gleichlange Grundseiten. Diese Grundseiten sind identisch mit den drei Seiten des gegebenen gleichseitigen Dreiecks. Auf dem unteren Bild sieht man seine “orange Rückseite”. Man sieht auch seine eingezeichnete Höhe und erkennt die drei Teilecke.
Somit haben die drei Teildreiecke zusammen denselben Flächeninhalt wie das gleichseitige Dreieck, nämlich die Hälfte des Produkts von Grundseite mal Höhe. Anderseits haben die drei Teilecke jeweils die Hälfte des Produktes Grundseite mal jeweiligem Abstand unseres Punktes (=Höhe des Teildreiecks). Aus der Flächengleichheit folgt aber, dass die Summe der drei Abstände unseres Punktes mit der Höhe des großen Dreieckes übereinstimmen muss. Das bedeutet natürlich auch, dass die Summe der Abstände eines beliebigen Punktes im Inneren des gleichseitigen Dreiecks in jedem Fall gleich ist.
Nutzen wir ein wenig die Sprache der Mathematik. Bezeichnen wir die Grundseite des gleichseitigen Dreiecks mit s und seine Höhe mit h und die drei Abstände unseres Punktes von den Dreiecksseiten mit a, b und c, dann erhält man die Gleichung s⋅h/2=s⋅a/2+s⋅b/2+s⋅c/2. Dividiert man nun diese Gleichung durch s und multipliziert sie mit 2, so erhält man die gewünschte Gleichung h=a+b+c.
Man sieht an diesem kleinen Beispiel, dass die Veranschaulichung ausgesprochen hilfreich dabei ist, die Zusammenhänge zu sehen und zu verstehen, dass man in der logischen Argumentation aber dann darauf achten muss, keine zusätzlichen Annahmen aus dem Beispiel als die verabredeten zu benutzen. Die Verwendung der Umgangssprache wirkt zunächst vertraut, birgt aber die Gefahr, ungenau und missverständlich zu sein. Daher ist die klare und exakt definierte Sprache der Mathematik sicherer und bei genügend Übung auch hilfreich.