Konstruktionen von magischen Quadraten ungerader Ordnung – “Nord-Ost-Methode” und “Süd-Ost-Methode”

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Der Legende nach soll es vor mehr als 3000 Jahren in China passiert sein, dass eine Schildkröte aus einem Fluss stieg und auf ihren Rückenplatten das kleinste magische Quadrat trug, mit dessen magischen Kräften der Fluss hinfort beherrscht werden konnte.

Dieses Lo Shu genannte kleinste magische Quadrat besteht aus den Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9. Sie sind in drei Zeilen und drei Spalten angeordnet, und zwar so, dass in jeder Zeile und in jeder Spalte die drei Zahlen zusammen 15, die magische Konstante, ergeben. Aber auch die drei Zahlen in jeder der beiden Hauptdiagonalen ergeben diese Summe. Das kleinste magische Quadrat hat die Ordnungszahl n=3. Auch die Zahlen von 1 bis 16 ergeben ein magisches Quadrat der Ordnung n=4, die Zahlen 1 bis 25 eines der Ordnung n=5 und für alle weiteren Quadratzahlen n2 gibt mindestens ein entsprechendes magisches Quadrat der Ordnung n. Die magische Konstante ergibt sich aus der Summe der Zahlen eines magischen Quadrates, die durch die Anzahl der Zahlen der Zeilen oder Spalten dieses Quadrats geteilt werden muss. Also berechnet sich die magische Konstante eines magischen Quadrats der Ordnung n folgendermaßen: (1+2+3+…+n2):n= (n2⋅(n2+1):2):n=n⋅(n2+1):2.

In der Mathothek gibt es drei Exponate, mit denen man lernen kann, wie man ein magisches Quadrat der Ordnung 3 und 5 konstruieren kann, ohne auf Probieren etc. angewiesen zu sein.

Natürlich ist es mit Ausprobieren und logischem Denken auch ohne Schema nicht schwer ein magisches Quadrat der Ordnung 3 zu finden. Eine große Hilfe dabei ist es, wenn man sich zunächst überlegt, dass natürlich in der Mitte nur die 5 sein kann.

Aber es gibt auch eine sichere Methode für die Konstruktion.

Man beginnt mit der 1 im obersten Kästchen und trägt dann diagonal nach rechts unten (Süd-Ost) die 2 und die 3 ein. In die Hauptdiagonale werden die Zahlen 4, 5 und 6 eingetragen. Die letzten drei Zahlen 7, 8 und 9 füllen dann die letzte Diagonale von oben rechts nach links unten aus. Die Zahlen 1, 3, 7 und 9, die sich außerhalb des eigentlichen Quadrates befinden, werden nun um drei Plätze nach unten, oben, rechts oder links verschoben. Mit der Probe bestätigt sich, dass in jeder Zeile, Spalte und den beiden Hauptdiagonalen sich jeweils als Summe der drei Zahlen die magische Konstante 15 ergibt.

Diese “Süd-Ost-Methode” lässt sich auch auf die Erzeugung anderer magischer Quadrate mit ungerader Ordnung übertragen. Hier folgt eine entsprechende Konstruktion für ein magisches Quadrat der Ordnung 5.

Ganz analog zur Konstruktion des magischen Quadrates der Ordnung 3 beginnen wir mit der 1 im obersten Kästchen. Anschließend tragen wir die Zahlen 2, 3, 4 und 5 nach rechts unten in die diagonal positionierten Kästchen, in die zweite (links benachbarte) Diagonale tragen wir die Zahlen 6 bis 10, in die nächste die Zahlen 11 bis 15, dann die Zahlen 16 bis 20 und 21 bis 25 ein. Zum Schluss werden die außerhalb des inneren Quadrates liegenden Zahlen noch jeweils um fünf Plätze nach unten, oben, rechts und links verschoben. Fertig ist ein magisches Quadrat der Ordnung 5. Die Probe bestätigt die magische Konstante 65. 

Eine etwas weniger schnell zu verstehende Methode, um ein magisches Quadrat der Ordnung 5 zu erstellen, zeigt ein weiteres Exponat der Mathothek.

Bei dieser Konstruktionsart wird zunächst ebenfalls der Bereich über das eigentliche 5×5-Quadrat erweitert, und zwar um eine Spalte nach rechts und eine Zeile nach unten. Ebenso finden man auch, zumindest streckenweise, eine diagonale Anordnung der Zahlen nach ihrer Größe, allerdings von links unten nach rechts oben (“Nord-Ost-Methode”). Als Erstes wird auch hier die 1 eingetragen. Dann folgt die 2 diagonal nach rechts oben.  Da die 2 außerhalb des eigentlichen Quadrats liegt, wird sie   um fünf Kästchen nach unten verschoben. Die Zahlen 3 und 4 kommen dann wieder in die diagonalen Kästchen nach rechts oben. Nun wird die außerhalb des Quadrats gelegene 4 fünf Plätze nach links verschoben, die Zahlen 5 und 6 müssten nun diagonal nach rechts oben eingetragen werden. Aber das geht nur mit der 5, der Platz für die 6 ist bereits von der 1 besetzt. In dem Fall wird die 6 direkt auf den Platz unter der 5 gesetzt. Die Zahlen 7, 8, 9 folgen dann wieder nach “Nord-Ost”. Die außerhalb gelandete 9 wandert fünf Kästchen nach unten und die 10 liegt schräg darüber, aber außerhalb. Sie wandert fünf Plätze in ihrer Zeile nach links. Eine letzte neue Situation tritt nach der 16 auf, denn sie kann weder fünf Plätze nach unten noch nach links ausweichen. Sie nimmt wieder den Platz unter ihrer Vorgängerin (15) ein. Mit diesen Regeln landet dann die 25 auf dem letzten freien Platz, fünf Plätze unter der 1. 

Um die Regeln übersichtlicher zu machen, gibt es einen gerichteten Graphen, der die Züge nachvollziehbarer macht.

Hat man ein irgendwie gefundenes magisches Quadrat, so kann man durch verschiedene Operationen aus diesem weitere gewinnen. Solche Operationen sind Spiegelungen und Drehungen, die die Magie des Ausgangsquadrats erhalten. Allerdings gelten zwei magische Quadrate, die sich nur durch Symmetrien unterscheiden, als gleich. In diesem Sinne gibt es nur ein magisches Quadrat der Ordnung 3.

Legt man keinen Wert darauf, dass es sich bei dem Ergebnis um ein magisches Quadrat im engeren Sinn handelt, kann man aus einem gegebenen magischen Quadrat der Ordnung n unendlich viele solcher herstellen, indem man alle Zahlen des gegebenen Quadrates mit ein und derselben natürlichen Zahl, die größer als eins ist, multipliziert. Kennt man wenigstens zwei magische Quadrate derselben Ordnung, so kann man sich die beiden Quadrate übereinander gelegt denken und die Zahlen, die bei beiden auf derselben Position liegen, addieren, um ein neues magisches Quadrat im erweiterten Sinn zu erhalten.

Wenn Du mehr über die Strukturen magischer Quadrate wissen willst, so beschäftige Dich einmal ausführlich mit dem berühmten magischen Quadrat auf Albrecht Dürers Stich Melencolia I. Einen guten Druck davon, aber auch noch einige andere hilfreiche Exponate findest Du in der Mathothek und Hinweise und interessante Informationen in unserem Katalog.

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