Ellipse – Rund und doch kein Kreis

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Diese Fotos von vier Alltagsdingen zeigen, dass die Ellipse auch beim Design eine Rolle spielt: Bonboniere, Bierdeckel, Armbanduhr und Frühstücksbrettchen.

Die Ellipse gehört geometrisch zu den Kegelschnitten: Durchdringt eine Ebene einen Kegel so, dass sie die Achse des Kegels schneidet, so ist die Schnittfläche ein Kreis oder eine Ellipse. Den Unterschied macht der Winkel, mit dem die Schnittebene die Kegelachse schneidet: Beträgt der Schnittwinkel 90°, dann und nur dann erhält man als Schnittfläche einen Kreis, in allen anderen Fällen ist sie eine Ellipse. 

In dem kleinen Schaukasten der Mathothek sind anschaulich und anfassbar die verschiedenen Kegelschnitte als Schnitte einer Ebene (transparente Folie) mit einem Kegel (aus Styropor) versammelt. Die Schnittflächen sind mit leuchtenden Farben bemalt: die entstandene Kreisfläche rot, die elliptische Fläche blau.

Lässt man die Spitze des Kegels „ins Unendliche wandern“, so erhält man einen Zylinder. Auch für einen Zylinder gilt, dass die Schnittfläche mit einer Ebene einen Kreis oder eine Ellipse ergibt, in Abhängigkeit vom Schnittwinkel mit der Achse des Zylinders.

Um eine altbekannte Konstruktionsvorschrift und wesentliche Eigenschaften der Ellipse kennenzulernen, gibt es das folgende Exponat in der Mathothek:

Es besteht aus einer Schicht feinem Sand, blauem Rahmen und zwei roten senkrecht befestigter Holzstäbchen. Zur Konstruktion gibt es noch aus roter Kordel gebildete Ringe in zwei Größen. Außerdem dient ein Stift ohne Mine zum Zeichnen. Wie auf den beiden Bildern zu sehen ist, lassen sich so verschieden große Ellipsen in den Sand zeichnen in Abhängigkeit von der Größe des Seils.

Die beiden roten Stäbchen markieren zwei wesentliche Punkte einer Ellipse, nämlich die beiden Brennpunkte der Ellipse. Da der Kordelring nicht elastisch und der Abstand der beiden Brennpunkte auch nicht veränderlich ist, ergibt sich leicht, dass alle Punkte, die auf der gezeichneten Linie liegen, in der Summe ihrer Abstände von den beiden Brennpunkten gleich sind. Bildet man also die Summe der Abstände eines Punktes der Ellipse von den beiden Brennpunkten, so erhält man für alle Punkte der Ellipse dasselbe Ergebnis. Dies ist eine kennzeichnende Eigenschaft aller Ellipsen.

Lässt man die Spitze des Kegels „ins Unendliche wandern“, so erhält man einen Zylinder. Auch für einen Zylinder gilt, dass die Schnittfläche mit einer Ebene einen Kreis oder eine Ellipse ergibt, in Abhängigkeit vom Schnittwinkel mit der Achse des Zylinders.

Die Bezeichnung „Gärtnerkonstruktion“ für diese Art, eine Ellipse zu konstruieren, kommt tatsächlich daher, dass dieses Verfahren leicht zum Anlegen von elliptischen Beeten in Parks und Gärten genutzt wurde und wird: Stäbe und Seil sind ja leicht zu beschaffen.

Bei dem nächsten Exponat handelt es sich um ein zweckentfremdetes  Objekt, nämlich um eine sogenannte „Narrenmühle“, die von einem Weihnachtsmarkt stammt. Ihre ursprüngliche Verwendung ist auf der Rückseite noch zu lesen.

Diese „Konstruktionsmaschine“ beruht einmal auf den beiden orthogonalen Führungslinien und der Bewegung und Konstruktion des zeichnenden Arms. Der Abstand der vorderen Schraube des Arms zum Zeichenstift ist so groß wie die kurze Achse und der Abstand der hinteren Schraube zum Zeichenstift so groß wie die lange Achse der Ellipse. Damit beträgt der Abstand der beiden sich auf den Achsen bewegenden Schrauben der Differenz der beiden Achsen. Die verallgemeinerte Konstruktion einer Ellipse, die auf diesem Prinzip beruht, nennt man auch „Papierstreifenkonstruktion“. Dazu braucht man nur einen entsprechenden Papierstreifen und das Achsenkreuz.

Einen ganz raffinierten „Ellipsenzeichner“, mit dem sich jede Ellipse konstruieren lässt, schenkte vor einigen Jahren ein ehemaliger schwäbischer  Ingenieur der Mathothek. In einem schönen handgeschriebenen Brief teilt er uns die Anleitung für seine Konstruktion mit. Auch sie kann in der Mathothek eingesehen werden.

Da ist das Herzaubern eines schönen Kreises oder einer Ellipse mithilfe einer guten Taschenlampe bei Dunkelheit schon viel einfacher. Außer der guten Taschenlampe braucht man nur noch nächtliche Dunkelheit und eine genügend große und helle Wand. Richtet man den Lichtkegel der Lampe in verschiedenen Schnittwinkeln gegen die Wand, so lassen sich nicht nur Kreis und Ellipse hell strahlend erzeugen.

Auf diese Weise romantisch eingestimmt, wird man auch beim anschließenden Barbesuch in seinem Cocktail-Glas Kreise, Ellipsen und andere Kegelschnitte sehen.

Auch in der Architektur wurde und wird die Ellipse angewandt. So als Grundriss beim Einkaufszentrum „Lilien-Carree“, dem Einkaufszentrum in der Nähe des Wiesbadener Hauptbahnhofs. Wesentlich älter, größer und berühmter ist allerdings das Kolosseum in Rom. Es zeigt, welch großartige Baumeister die Römer waren. Diese riesige Arena wurde 70 n. Chr. von Kaiser Vespasian als Geschenk an das römische Volk in Auftrag gegeben. Dieses Flavische Amphitheater, wie das Kolosseum damals genannt wurde, war nicht nur eine herausragende architektonische Leistung, so verwendeten die Römer hier für die Gewölbe den von ihnen erfunden Beton, sondern auch von einer unglaublichen logistischen Konstruktion. Ein kleines Pappmodell gibt eine bescheidene Vorstellung von diesem Prachtbau.

Auf dem folgenden Foto sind, wenn auch etwas mühsam, gerade Linien zu sehen. Sie sind durch regelmäßige Faltungen entstanden und machen aus dem Kreis eine Ellipse. Die Menge aller dieser nach einer bestimmten Vorschrift geknickten Geraden stellt die Menge aller Tangenten einer Ellipse dar. Je mehr Tangenten erscheinen, um so sichtbarer wird die eingehüllte Ellipse. Die beiden schwarzen Punkte sind der Mittelpunkt des Kreises und einer der beiden Brennpunkte der Ellipse.

Nachdem der Astronom Johannes Kepler bei seinem Versuch gescheitert war, die Umlaufbahnen der Planeten um die Sonne in ein elegantes geometrisches System zu bringen, das auf der Idee der platonischen Körper basierte, machte er die grundlegende Erkenntnis, dass die Planeten sich nicht auf „göttlichen“ Kreisen um das Zentralgestirn bewegten, sondern auf elliptischen Bahnen. Eine grundlegende Einsicht, die er im ersten Gesetz  seiner Theorie der Planetenbewegungen festhielt.

Nicht nur der Name der Parabel und der Hyperbel wurden aus der Linguistik übernommen, sondern auch der Name der Ellipse. Hier bedeutet elliptisch unvollständig und Ellipse ist ein Satz mit Auslassungen, die Ersparung von Redeteilen, z.B.“[ich] danke schön“. (Duden).

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