Wie können wir helfen?
In der Mathothek gibt es keinen teuren Schmuck aus Gold, Platin oder Silber. Die verwendeten Perlen sind auch keine kostbaren und seltenen Edelsteine, sondern bestehen vor allem aus schön angemalten Holzperlen. Für eigene Experimente steht den Besuchern reichlich Material zur Verfügung:
In der abgebildeten Kiste ist eine ganze Menge verschiedener, aber auch gleicher Perlen. Hier wird das Wort Menge im umgangssprachlichen Sinne gebraucht. In der Mathematik ist der Mengenbegriff mathematisch ein Grundbegriff, der nicht weiter zurückgeführt werden kann. Bei einer mathematischen Menge handelt es sich um eine Zusammenfassung von unterscheidbaren Elementen zu einer Gesamtheit, wobei die Reihenfolge keine Rolle spielt. Es muss nur klar sein, ob ein bestimmtes Element zu der definierten Menge gehört oder nicht. So ist für das Wort “Mathematik” die Anordnung der Buchstaben m, a, t, h, e, i, k wesentlich, aber für die Menge der Buchstaben des Wortes Mathematik nicht, d.h. Menge der Buchstaben des Wortes “MATHEMATIK={m, a, t, h, e, i, k}={a, e, h, i, k, t}={a, e, i, h, k, t} usw. Alle Permutationen (Anordnungen oder Umstellungen) der sieben Buchstaben stellen dieselbe Menge dar.
Bei dem nächsten Exponat der Mathothek handelt es sich um eine gut überschaubare Menge von Mengen. Die Menge der Bändchen stellt alle möglichen Teilmengen dar, die sich aus einer Grundmenge von fünf verschiedenfarbigen Holzperlen bilden lassen.
Es gibt nun fünf Personen, die durch jeweils eine der fünf Farben repräsentiert werden. Stellen wir uns jetzt vor, dass ein Weiterer sich für den kleinen Club interessiert. Dann werden ihm die oben abgebildeten 32 Armbändchen vorgelegt und er kann auswählen, ob er zunächst noch mit keinem der anderen, mit einem bestimmten der fünf, mit zwei, drei, vier oder allen fünf befreundet sein möchte.
Jede Entscheidung führt zu einem bestimmten Armbändchen:
a) mit keiner Perle (=leere Menge)
b) mit einer Perle (5 mögliche Bänder)
c) zwei Elementen (10 Möglichkeiten),
d) drei Elementen (10 Möglichkeiten)
e) vier Elementen (5 Möglichkeiten)
f) bei fünf zur Menge mit allen fünf Perlen, also der Grundmenge.
Das Objekt mit den 32 Freundschaftsbändchen zeigt exemplarisch, wie aus einer Grundmenge mit fünf Elementen alle möglichen Teilmengen gebildet werden. Dabei zählen die leere Menge und die Grundmenge selbst mathematisch sinnvollerweise auch zu den Teilmengen. Sagt doch die Definition “A ist Teilmenge der Menge B”, dass jedes Element der Menge A auch ein Element der Menge B ist. Ist nun A die leere Menge, so ist nach mathematischer Logik, diese Bedingung wahr.
Das mit den Freundschaftsbändchen soll hier die Mathematik freundlicher, machen, aber keinesfalls das wesentlich wichtigere Thema “Freundschaften schließen” banalisieren oder gar gering achten. Bei idealen Freundschaften sollten keine Rangunterschiede und Abstufungen bestehen. Dies wird durch die Mengenbilder treffend abgebildet.
Das an diesem Beispiel aus der Mathothek gezeigte Verfahren, aus einer gegebenen Menge eine neue und mächtigere Menge zu machen, spielt in der mathematischen Mengenlehre eine wichtige Rolle, allerdings wird dieses Vorgehen erst bei unendlichen Mengen so richtig spannend. Diese neue Menge nennt man auch die Potenzmenge der Ausgangsmenge. Sie hat als Elemente alle Teilmengen der gegebenen Menge, einschließlich der leeren Menge und der Ausgangsmenge selbst.
Nehmen wir uns die Vokale der deutschen Sprache vor, d.h. die Ausgangsmenge ist {a, e, i, o, u}. Dann besteht die zugehörige Potenzmenge aus folgenden Teilmengen:
{}
{a}, {e}, {i}, {o}, {u}
{a,e}, {a,i}, {a,o}, {a,u}, {e,i}, {e,o}, {e,u}, {i,o}, {i,u}, {o,u}
{a,e,i}, {a,e,o}, {a,e,u}, {a,i,o}, {a,i,u}, {a,o,u}, {e,i,o}, {e,i,u}, {e,o,u}, {i,o,u}
{e,i,o,u}, {a,i,o,u}, {a,e,o,u}, {a,e,i,u}, {a,e,i,o}
{a,e,i,o,u}
Das sind 5 einelementige, 10 zweielementige, 10 dreielementige, 5 vierelementige Teilmengen sowie die leere Menge und die Ausgangsmenge, also insgesamt alle 32=25 Elemente der Potenzmenge von {a,e,i,o,u}. Diese Aussage gilt für alle Mengen und ihre Potenzmengen: Hat eine Menge n Elemente, so besitzt ihre Potenzmenge 2n Elemente, wie wir es schon an der Bildung der Freundschaftsbändchen sehen konnten.
In der Mathothek gibt es aber noch ein sehr interessantes Exponat, zu dem unser Thema eine Beziehung hat, nämlich das Pascal’sche Dreieck:
Zum Beispiel finden wir in der 5. Zeile die Anzahl der null-, ein-, zwei-, drei-, vier- und fünfelementigen Teilmengen einer Menge aus fünf Elementen. Wir können den Zeilen des Pascal’schen Dreiecks die Anzahl der Teilmengen einer Menge von n Elementen entnehmen. Die Summe aller Zahlen einer Zeile des Dreiecks ergibt immer 2n, die Summe aller möglichen Teilmengen einer Menge mit n Elementen.