Blau raus – Wahrscheinlichkeit und Exponentialfunktion

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Dieses Exponat der Mathothek hat sein Vorbild in einem ähnlichen des Mathematikums in Gießen, dessen “emanzipierte Tochter” die Mathothek am Mosbacher Berg ist. Zu diesem Experiment gehört ein Sortierbrett, ein Riesenwürfelbecher und 62 gleiche Würfel in einer Dose. Die Würfel zeigen genau auf zwei Seiten einen blauen Punkt, sodass bei jedem Wurf die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Würfel einen blauen Punkt zeigt, 1/3 beträgt.

Zuerst werden alle Würfel gut gemischt und dann wird gleichzeitig gewürfelt. Alle Würfel, die oben einen blauen Punkt zeigen, werden in der ersten Spalte des Sortierbretts abgelegt.

Nach jedem der folgenden Würfe werden die Würfel, die den blauen Punkt oben zeigen, in die entsprechende Spalte des Bretts sortiert.

Fällt bei einem Wurf kein Würfel mit einem blauen Punkt nach oben, so bleibt die entsprechende Spalte leer. Wenn alle Würfel auf dem Sortierbrett liegen, ist das Exepriment beendet.

Brett nach 11. Wurf

Auf dem Sortierbrett gibt es in jeder Spalte einen roten Punkt. Diese roten Punkte liegen auf dem Grafen einer bestimmten Funktion.

Die Verteilung der blauen Würfel verläuft annähernd dieser roten Funktion, jedenfalls dann, wenn ordentlich gemischt und gewürfelt wurde. Da stellt sich die Frage nach dem mathematischen Zusammenhang.

Nach den Gesetzen der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist bei der Wahrscheinlichkeit von p=1/3 der Erwartungswert, dass bei jedem Wurf ein Drittel der Würfel einen blauen Punkt zeigen. Beim ersten Wurf kann man also mit 1/3 von 62 Würfeln rechnen. Es bleiben also 2/3 von den 62 Würfeln für den zweiten Wurf. Bei diesem wird beim Würfeln wieder ungefähr 1/3 einen blauen Punkt oben haben. Es bleiben damit  ca.2/3 von 2/3·62 für den dritten Wurf übrig usw. Wir sehen, dass nach dem ersten Wurf 2/3·62 Würfel übrigbleiben, nach dem zweiten Wurf 2/3·2/3·62, nach dem dritten 2/3·2/3·2/3·62 usw. Wie viele Würfel werden ca. in die n-te Spalte fallen? Es werden ca. 1/3 von (2/3)n-1·62=1/3·(2/3)n-1·62=(2/3)n·31 blaue Würfel sein. Diese Funktion f(x)=31·(2/3)x ist eine Exponentialfunktion mit der Basis 2/3, und da diese Basis kleiner als 1 ist, nehmen ihre Funktionswerte sehr schnell ab, nähern sich der 0, ohne sie aber je zu erreichen.

In der Mathothek gibt es außer den blauen Würfeln mit p=1/3 noch weitere Würfel, um noch andere Wahrscheinlichkeiten zu simulieren. So beispielsweise P=1/6 oder p=1/2. Die Wahrscheinlichkeit p=1/6 erhält man z.B. dadurch, dass man nur Ringe einer Farbe (z.B. rot) nach einem Wurf heraus nimmt, p=1/2 durch die Entscheidung Ring oder kein Ring.

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