Wie können wir helfen?
Hier macht Kombinatorik richtig Spaß. Es lassen sich – wenn auch immer nach dem gleichen Schema – viele verschiedene Sätze bilden. Auf den gelben Leistchen steht eine Eigenschaft, die durch ein Verb ausgedrückt wird, und zwar im Plural. Sie bezieht sich auf eine Personengruppe, z.B. Lehrer, Busfahrer, Omas u.a., die auf blauem Grund geschrieben sind. Alle Sätze haben dasselbe Verb “sind”, das deswegen fest auf die Unterlage geklebt wurde. Jede farblich richtige Kombination liefert dann einen grammatikalisch richtigen Satz. Über Sinn und Wahrheit kann dann gerne gestritten werden.
Unterschiedlichen Fragestellungen kann nachgegangen werden:
- Wie viele grammatikalisch richtige Sätze können insgesamt gebildet werden?
- Wie viele grammatikalisch richtige Oma-Sätze können gebildet werden?
- Wie viele grammatikalisch richtige Sätze können mit “sind cool” , “sind nett” oder “sind intelligent” gebildet werden?
(Lösungen: 7·7·7=343, 7·1·7=49, 7·7·3=147)
Bei den ähnlichen Objekten handelt es sich um sogenannte Klappbücher, wobei Inhalte und Ansprüche sehr verschieden sein können. Mathematisch gesehen, geht es dabei immer um das Abzählen aller erlaubten und möglichen Kombinationen. Als Beispiel soll das Buch “Meine kleine Satzwerkstatt” dienen, mit dem Satz “Bei Vollmond versteckt mein Zahnarzt die Alpen.” Ein Satz, in dem nun nicht wirklich tiefste Weisheit steckt, wird in vier Teile zerlegt: Bei Vollmond/ versteckt/ mein Zahnarzt/ die Alpen. Jeder dieser vier Teile kann nun durch eine Anzahl anderer Formulierungen so ausgetauscht werden, dass ein neuer grammatikalisch richtiger Satz entsteht. Die Gesamtzahl aller so möglichen Sätze erhält man dann durch das Produkt aller Möglichkeiten für Teil eins, Teil zwei, Teil drei und Teil vier. Im vorliegenden Fall heißt das: Es gibt insgesamt 20·20·20·20=160.000 Möglichkeiten, auf diese Weise einen grammatikalisch richtigen Satz zu bilden.
Ganz großartig und nicht nur hilfreich für Politiker sind die beiden Phrasendrescher mit ihren 32.768 Hilfestellungen für Reden ohne Aussagen.
Ein schönes, gut erhaltenes Spiel für Kinder ist auch ein lustiges Exponat, um das Verständnis für die systematische Erstellung von Kombinationen und deren Berechnung begreifbar zu machen.
Es besteht aus 6⋅6⋅6=216 bunt beklebten Holzteilen und einer in den Deckel vertieften Figur eines Clowns:
Die Clownsfigur muss jeweils mit einem Kopf-, Brust- und einem Beinteil ausgefüllt werden. Es gibt zwar sechs Kombinationen, die besonders gut zusammenpassen, aber die Clowns können durchaus lustig wahllos oder zufällig zusammengesetzt werden. Hier sind z.B. alle Möglichkeiten mit demselben Kopfteil und demselben Mittelteil, aber allen Möglichkeiten der Beinteile abgebildet:
Wie viele Möglichkeiten gibt es nun insgesamt, verschiedene Clowns zu legen? Wenn wir bei jedem der sechs oben abgebildeten Clowns der Reihe nach alle sechs Brustteile benutzen, dann erhalten wir 36 verschiedene Clowns, die aber alle noch dasselbe Kopfteil haben. Kombinieren wir die 36 Clowns nun noch mit den sechs verschiedenen Köpfen, so sind also insgesamt 36⋅6=216 unterscheidbare Figuren möglich. Jedes der sechs Kopfteile kann mit jedem der sechs Brustteile und diese 6⋅6 Teilkombinationen, kann noch einmal mit jedem der sechs Beinteile ergänzt werden. So kommt man auf die 216 Möglichkeiten.
Da bei allen kombinatorischen Experimenten, die hier angesprochen wurden, nie mehr als einmal eingesetzt werden kann, spricht man in der Mathematik auch von geordneten Stichproben ohne Wiederholung.