In manchen Fußgängerzonen oder an anderen Plätzen lassen sich sehr oft mathematische Pflasterungen finden, die mit ihrer Art der Parkettierungen jeden nicht „mathophoben“ Besucher inspirieren können.
Manchmal, z.B. in der Mainzer Fußgängerzone (Lotharstraße) oder auch in gefliesten Räumen in privaten oder öffentlichen Räumen, kann man auch ein regelmäßiges Muster entdecken, dessen Grundelemente Quadrate in zwei verschiedenen Größen und meist auch in zwei verschiedenen Farben sind. Das folgende Bild zeigt den Boden eines so gefliesten Flurs:
Dieses Muster wird unverdienterweise meistens „nur mit den Füßen getreten“, bestenfalls noch von den Augen als angenehm empfunden. Aber nur ganz wenige werden in diesem Muster einen weiteren Beweis des Satzes von Pythagoras entdecken, jener Satz, den auch die meisten Nichtmathematiker noch irgendwie als „a2+b2=c2“ nennen können.
Genauer formuliert, lautet der berühmte Satz des Pythagoras:
Wenn ein Dreieck einen rechten Winkel besitzt, so ist die Summe der Flächeninhalte der beiden Kathetenquadrate gleich dem Flächeninhalt des Hypotenusenquadrats.
Es gilt auch die Umkehrung dieses Satzes:
Sind bei einem Dreieck die Flächen zweier Seitenquadrate zusammen genauso groß wie die Fläche des dritten Quadrates, so bilden die beiden ersten Seiten diese Dreiecks einen rechten Winkel, d.h. das Dreieck ist rechtwinklig.
In der Mathothek gibt es ein interaktives Exponat, mit dem man gut nachvollziehen kann, warum man anhand dieses besonderen Straßenpflasters bzw. Fliesenmusters einen weiteren Beweis des Satzes des Pythagoras führen kann:
Zuerst lege man die blauen und orangen Quadrate (Kacheln oder Fliesen) zu so einem solchen pythagoreischen Muster. Dabei hilft die teilweise vorgezeichnete Unterlage.
Anschließend benutzt man die transparente Folie mit den eingezeichneten Quadraten und legt sie in geeigneter Weise auf das orangen-blaue Fliesenmuster:
Dann zerlegen die Linien der schwarzen Quadrate die beiden kleineren Quadrate in Dreiecke und unregelmäßige Vierecke. Für den Beweis der Behauptung des Satzes von Pythagoras, dass bei jedem rechtwinkligen Dreieck die beiden Kathetenquadrate zusammen genauso groß sind wie das Hypotenusenquadrat, legen wir das größere blaue Dreieck (mit einer weißen 1 bezeichnet) zugrunde. Dann ist sofort klar, dass die großen Quadrate auf der Folie dem Hypotenusenquadrat entsprechen und die orangen und blauen Quadrate den beiden Kathetenquadraten:
Somit müssen wir uns nur noch davon überzeugen, dass die beiden Kathetenquadrate zusammen genauso groß sind wie das Hypotenusenquadrat. Die beiden blauen Flächen 1 (weiß) und 2 (weiß) im Hypotenusenquadrat ergeben das blaue Kathetenquadrat und umgekehrt. Die beiden orange Flächen 4 (weiß) und 5 (weiß) der restlichen Fläche des Hypotenusenquadrats entsprechen dem orangen Kathetenquadrat. Also haben die beiden Kathetenquadrate zusammen denselben Flächeninhalt wie das Hypotenusenquadrat. Für den Beweis der Umkehrung des Satzes von Pythagoras möge sich der geneigte Besucher selber bemühen und versuchen, ein regelmäßiges Fliesenmuster aus zwei quadratischen Kacheln zu machen, die keinen rechten Winkel bilden.
Die Mathothek mit ihren interaktiven Objekten ist auch eine „Sehschule“. Überall in unserer Umgebung können wir mathematische Muster und Zusammenhänge erkennen und abstrahieren, wenn unser Blick geübt und die Lust am Erkennen geweckt ist. Und für die Schulung dieser Ziele ist die Mathothek ein idealer Ort.