Mathothek

Diese Schätzmethode hat ihren Namen von einer interessanten Anwendung: Die Besitzerin eines großen Karpfenteichs möchte die Zahl ihrer Fische wissen. Zählen ist praktisch nicht möglich und wäre viel zu aufwendig und für die Fischlein auch zu gefährlich. Deswegen sucht sie eine geeignete Schätzmethode. Mit diesem Exponat der Mathothek bekommt sie diese gezeigt. Allerdings muss sie sich an den “Dreisatz” oder die “Proportionalität” aus ihrem Mathe-Unterricht erinnern.

Die Karpfen entsprechen den Perlen im Glas, das Glas dem Teich und die Bewegung der Fische im Teich muss durch das Schütteln der Perlen im Glas ersetzt werden. Und so wird’s gemacht:

Am Ausgangspunkt des Experiments sind alle Perlen nur rot – alle Karpfen gleich. Jetzt fängt man eine Anzahl s Fische und markiert sie z.B. mit einem Punkt – ersetzt S rote durch S schwarze Perlen. Man lässt den Fischen genügend Zeit, um sich gut zu durchmischen – schüttelt das Glas lange genug, bis schwarze und rote Perlen gründlich vermischt sind. Dann nimmt man eine Stichprobe der vermischten Perlen und zählt, wie viele davon rot und wie viele davon schwarz sind, s sei die Anzahl der Schwarzen und r die Anzahl der Roten.  Dasselbe macht man auch mit mit der Stichprobe an Karpfen im Teich.

Nach den Regeln der Wahrscheinlichkeit müsste das Verhältnis von r zu s dasselbe sein wie das Verhältnis von R zu S, wobei R für die Anzahl der roten Perlen steht, die in dem Glas ist. Wir wollen wissen – und die Teichbesitzerin will wissen – wie viele rote Perlen insgesamt im Glas bzw. wie viele nicht gekennzeichnete Karpfen im Teich sind, also die Anzahl R. 

Aus der Gleichung R:S=r:s erhält man die Gleichung R=S·r:s. Mit R+S=x weiß die Teichbesitzerin die ungefähre Anzahl ihrer Karpfen und wir die Gesamtzahl aller Perlen im Glas.

Ein Beispiel:

Links im Holzkästchen ist die gezogene Stichprobe. Es sind 14 schwarze und 98 rote Perlen in der Stichprobe. Damit ergibt sich die Rechnung mit R wird gesucht S=240, r=98 und s=14:   R= S·r:s, d.h. R=240·98:14=1680. Also sind ca. 1680 rote und damit ca. 1680+240=1920 Perlen insgesamt in dem Glas.

Um eine bessere Schätzung zu erreichen, kann man natürlich das Experiment wiederholen und so zu mehr Werten, aber auch zu einer größeren Stichprobe kommen.

Hier sind noch die Ergebnisse einiger weiterer Versuche mit Stichproben:

1. r=75,   s=7  und  R=2571
2. r=101, s=12 und R=2020
3. r=80,   s=7   und R=2743
4. r=91,   s=11 und R=1985
5. r=78,   s=8   und R=2340
6. r=99,   s=9   und R=2640

Das sind recht starke Schwankungen. Wir bilden aus den Ergebnissen aller sieben Stichproben eine einzige große Stichprobe: Wir addieren alle r-Werte und alle s-Werte. Summe der r-Werte beträgt 622 Summe aller s-Werte beträgt 68.

R=240·622:68=2195, also sind es ca. 2195 rote Perlen im Glas.

 Also wären ca. 2435 Perlen insgesamt im Glas.

Tatsächlich befinden sich 2200 rote und damit insgesamt 2440 Perlen im Glas!

Dieses Beispiel lehrt auch, dass für eine gute Schätzung die Stichprobe nicht zu klein sein darf.