Zu allen Zeiten, in allen Ländern und den verschiedensten Kulturen entwickelte sich mehr oder weniger das Handwerk und die Kunst der Parkettierung oder Kachelung für Böden und Wände von Tempeln, Kirchen, Schlösser und Häusern.
Bei diesem Exponat der Mathothek geht es um die mathematische Parkettierung der Ebene mit regelmäßigen Vielecken und starker Symmetrie. Regelmäßige Polygone (=regelmäßige Vielecke) sind definiert dadurch, dass bei ihnen alle Seitenlängen gleich lang und alle Innenwinkel gleich groß sind. Zu dieser starken Symmetrie der Bauelemente kommen noch Legevorschriften, durch die für weitere Symmetrien der Muster gesorgt werden. So muss nicht nur die gesamte Ebene – jedenfalls im Prinzip – bedeckt sein, und zwar ohne Überlappung, sondern es müssen auch noch alle Ecken gleich aussehen.
Nur diese fünf regelmäßigen Vielecke kommen für eine solche Parkettierung der Ebene infrage, denn damit die Parkettierung ohne Überlappung und auch ohne Lücken erfolgen kann, muss an den Ecken die Summe der zusammentreffenden Winkel immer genau 360° betragen.
Es gibt nur drei platonische Parkettierungen, die mit einer Art regelmäßiger Vielecke auskommt:
Regelmäßiges Achteck und Zehneck sind nicht geeignet, weil hier schon zwei Ecken einer Sorte jeweils mehr als 360° ergeben würden.
Die Analogie zu den Verhältnissen bei den platonischen und archimedischen Körpern ist offensichtlich. Deswegen kann man hier ruhig von platonischen und archimedischen Parkettierungen reden. Die archimedischen Parkettierungen unterscheiden sich von den platonischen dadurch, dass sie mehr als eine Sorte regulärer Vielecke enthalten dürfen. Was auch für archimedische Parkettierungen gilt – wie für die archimedischen Körper – ist die Vorschrift, dass alle Ecken gleich aussehen müssen, d.h. an jeder Ecke müssen die gleichen Polygone und in derselben Reihenfolge vorkommen.
Unter diesen Bedingungen existieren acht archimedische Parkettierungen:
Wenn man die Bestimmung über die Gleichheit der Ecken lockert, so gibt es noch wesentlich mehr Parkettierungsmuster.
Gilt bei einer Parkettierung weiter, dass reguläre Vielecke verwendet werden und dass sie Kante an Kante gelegt werden, aber es hinsichtlich der Ecken zwei Typen gibt (Anzahl und Reihenfolge der zusammentreffenden Vielecke) werden als demiregulär bezeichnet. Es folgen einige Beispiele für demireguläre Parkettierungen. Es gibt insgesamt 20 solcher demiregulärer Muster.
Es folgen vier Beispiele demiregulärer Parkette:
Diese faszinierenden Muster sind nicht nur besonders schön, sondern auch sehr interessante mathematische Strukturen. Es gibt in der Mathothek auch andere Beispiele von mathematisch und ästhetisch ansprechenden Muster, so verschiedene nicht-periodische Parkettierungen, wie sie der Nobelpreisträger in Physik Roger Penrose entwickelt hat.
