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Es hat sehr lange gedauert, bis die Vermutung bewiesen werden konnte, dass man jede Landkarte mit vier Farben einfärben kann, dass Länder mit einem gemeinsamen Stück Grenze nicht gleich gefärbt werden müssen. Dieser Vierfarben-Satz ist sehr umfangreich und mit Computereinsatz bewiesen worden. Diese Computerbenutzung zum Beweis einer mathematischen Aussage ist nicht unumstritten. Wenn auf einer Karte keine zwei benachbarte Länder, Länder mit einem Stück gemeinsamer Grenze, mit derselben Farbe eingefärbt sind, spricht man von einer regulären Färbung oder Einfärbung.
Wenn man sich aber die Frage stellt, mit wie vielen Farben eine Karte regulär gefärbt werden kann, bei der die Grenzen der Länder durch Geraden gezogen sind, so ist die Antwort leicht einzusehen: zwei Farben sind hinreichend und auch notwendig. Um das anschaulich einzusehen, gibt es ein besonderes Exponat in der Mathothek. Es besteht aus verschiedenen Karten und einer größeren Menge Glasnuggets in zwei Farben.
Mit der systematischen Einfärbung einer schrittweisen Abfolge von Karten lässt sich das Prinzip der regulären Färbung nach dem Zweifarben-Satz gut verständlich machen. Diese Karten werden so angeordnet, dass auf jeder folgenden Karte eine Grenzgerade hinzukommt und so neue Länder entstehen, die entsprechend eingefärbt werden müssen.
Im ersten Schritt wird die Karte durch eine einzige Gerade in zwei Länder geteilt.
Im zweiten Schritt kommt eine weitere Grenzgerade hinzu und zwei neue Länder entstehen.
Im nächsten Schritt kommt wieder eine Gerade hinzu und neu entstehende Länder müssen eingefärbt werden.
Es folgt die nächste Hinzunahme einer weiteren Geraden und Einfärbung der neuen Länder.
Die nächste Grenzgerade wird eingefügt und die neuen Länder werden gefärbt.
Je mehr Geraden und mehr Länder, umso wichtiger ist es, ein durchgängiges Prinzip zu erkennen und anzuwenden. Man erkennt leicht an den Beispielen, dass man nach Hinzufügen einer neuen Grenzgeraden sich entscheiden muss, auf einer der beiden Seiten der Geraden die Farben der Länder zu lassen und auf der andern Seite dieser Gerade, der anderen Halbebene, alle Länder umzufärben. Handelt man strikt nach diesem Prinzip, ist die reguläre Einfärbung jeder weiteren Karte gesichert. Da es auch keine Obergrenze der Grenzgeraden gibt, ist die Aussage, dass jede solche Karte mit nur zwei Farben regulär eingefärbt werden kann, bewiesen. Natürlich können die Geraden auch parallel sein oder sich zu mehreren schneiden.
Eine weitere Karte mit zahlreichen Geraden und somit auch vielen Ländern kann mit den roten und blauen Nuggets als Spiel benutzt werden, bei dem einzelne oder mehrere Besucher der Mathothek die Länder regulär zu färben haben. Dabei sollte die rote Gerade zunächst ignoriert werden. Nach gelöster Aufgabe kann man dann versuchen mit dem obigen Prinzip, diese Gerade einzubeziehen und die erweiterte Karte regulär einzufärben.
Ein interessantes Objekt in der Mathothek: eine Chimäre aus einer regulär eingefärbter Landkarte und einem Möbiusband. Ein Möbiusband hat nur eine Fläche und nur einen Rand. Auf dem Möbiusband sind sechs Länder in Form von Rechtecken eingezeichnet, von denen jedes Land mit jedem der anderen fünf Länder ein Stück gemeinsame Grenze besitzt.
Also braucht man in diesem besonderen Fall, um diese Karte auf dem Möbiusband regulär einzufärben, sechs verschiedene Farben. Daher gilt der Vier-Farben-Satz auf der Fläche eines Möbiusbandes nicht.