Würfel aus gegebenen Teilen aufbauen – Erfahrungen mit der dritten Dimension sammeln

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Sehr leicht – deshalb vor allem für jüngere Besucher geeignet – ist die Aufgabe, diese zwei symmetrischen und aus drei gleich großen roten bzw. grauen Würfelchen bestehenden Teile zu einem Würfel zusammen zusetzen:

Schon spürbar mehr Nachdenken und räumliche Vorstellungen sind bei der folgenden Herausforderung gefordert:

Mit diesen 13 blau-gelben Doppelwürfeln und einem gelben oder einem blauen einzelnen Würfel lässt sich ein großer Würfel bauen, bei dem die sechs Seiten des großen Würfels schachbrettartig blau und gelb sind. Um einen Würfel mit acht gelben Ecken lässt man den blauen Einzelwürfel weg, um acht blaue Ecken zu erhalten, den gelben. Für die Lösung der gestellten Aufgabe muss man sich zunächst überlegen, dass für den Bau dieses Würfels  insgesamt 27 kleine Würfel zur Verfügung stehen. Da 3⋅3⋅3=27 ergeben, bedeutet das, dass der neue Würfel drei kleine nebeneinander haben, drei solche Reihen in jeder der drei Ebenen besitzen muss, also muss der große Würfel 3 Würfelchen lang, 3 Würfelchen breit und 3 hoch sein. Es gibt mehrere Lösungen. Dieses ist eine mögliche Lösung für einen Würfel mit gelben Ecken:

Wesentlich schwieriger ist es, einen solchen Würfel zu bauen, bei dem die kleinen Würfel neun verschiedene Farben haben:

Diesmal gibt es zwölf Teile, die aus zwei kleinen Würfeln zusammengesetzt sind, und ein Teil, das aus drei Würfelchen besteht. Zunächst ist klar, dass auch hier – so wie bei der ersten Aufgabe – ein 3x3x3-Würfel gesucht wird. Aber die Forderung, dass auf jeder der sechs Würfelseiten jede der neun Farben auftreten soll, ist recht schwierig und mit einer Sudoku-Aufgabe verwandt, allerdings ohne Vorgaben. Man muss sich einen Plan machen und die Teile entsprechend positionieren:

In der Mathothek gibt es auch zwei Zauberwürfel, die nicht so gedreht werden müssen, dass auf jeder ihrer sechs Seiten nur Quadrate einer der sechs Farben zu sehen sein darf, sondern – so wie oben gefordert – auf jeder der sechs Seiten alle neun Farben genau einmal zu sehen sind.

Hier kann man sich gut überzeugen, dass ein Eckelement oder ein mittleres  Kantenelement oder ein in der Mitte einer Seite sichtbares Element verschiedene “Wertigkeiten” haben. Beispielsweise färbt ein grünes Eckelement gleich die drei zusammenstoßenden Seiten mit, ein mittleres Kantenelement färbt gleichzeitig zwei benachbarte Flächen.

Obwohl bei der folgenden Aufgabe alle neun Bausteine dieselbe von drei gleichen Würfelchen zu einem L gebildete Form – Triakuben – besitzen, ist die Lösung, einen großen Würfel zu bauen, nicht ganz so einfach.

Schritt für Schritt, mit Trial-and-Error sowie räumlich-logischen Überlegungen, gelingt auch diese Lösung.

Aus vier kleinen, aber gleich großen Würfeln lassen sich die Quadrakuben zusammensetzen. Für diese Herausforderung haben alle Bausteine dieselbe Form eines Ts. Aus 27 hellen und 27 dunklen solcher T-Quadrakuben soll ein großer Würfel zusammengesetzt werden. Dieser soll auch noch farblich regelmäßig gemustert sein. Insgesamt sind es 2⋅27=54 Steine. Da jedes Teil aus vier kleinen Würfeln besteht, besitzt der große Würfel 4⋅54=216=6⋅6⋅6 kleine Würfel, also sechs an jeder Kante.

Hier ist nun der schrittweise Aufbau des gesamten 6x6x6-Würfels zum Nachvollziehen:

Es gibt sehr viele solcher “Packwürfel-Knobeleien” in der Mathothek. Häufig geht es dabei um die Zusammensetzung eines größeren Würfels aus Teilen, die aus gleich großen Würfelchen zusammengesetzt sind. Solche Teile können, wie man an den oberen Beispielen sehen kann, dieselbe Form, aber unterschiedliche Formen haben. Die folgenden Exponate erfordern den Umgang mit unterschiedlich gestalteten Polyakuben.

Etwas leichter dürfte es bei diesem Würfelbau aus sieben Teilen sein, als es wohl beim nächsten sein wird:

Dieser 3x3x3-Würfel kann aus den folgenden sieben Polyakuben zusammengefügt werden:

Hier ist die schrittweise Lösung der Aufgabe:

… und hier wird es so richtig schwierig:

Hier soll aus den zwölf Teilen ein Würfel gebaut werden. Es handelt sich bei den Teilen um die folgenden vier Hexakuben, die aus sechs Würfelchen bestehen, und aus den acht Pentakuben, die aus fünf Würfelchen zusammengesetzt sind. Daher setzt sich der zu bauende Würfel aus insgesamt 6⋅4+8⋅5=64 Würfelchen zusammen. Es muss also ein 4x4x4-Würfel entstehen.

Hat man das Glück, auf einen gelösten Würfel zu stoßen, so kann man natürlich leichter zum Lösungsweg kommen, indem man den Würfel Schritt für Schritt abbaut, sich die Schritte einprägt und dann die Reihenfolge der Schritte umkehrt.

… und hier wird es so richtig schwer: Aus diesem Haufen von 29 Kuben soll ein einziger 5x5x5-Würfel entstehen:

  Den Lösungsweg findet Ihr diesmal ganz am Ende diese Artikels.

Es müssen natürlich nicht immer aus Würfelchen zusammengesetzte Teile als Bausteine für Würfel sein. So lässt sich ein Würfel aus drei gleichen Pyramiden mit quadratischer Grundseite zusammensetzen:

Mit diesem so zerlegten Würfel lässt es sich leicht zeigen, dass eine Pyramide ein Drittel des Volumens eines Würfels hat, wenn sie die gleiche quadratische Grundfläche und Höhe besitzen.

Es gibt aber in der Mathothek auch Würfel mit weiteren, nicht unbedingt geometrischen Herausforderungen. Beispielsweise mit der Bedingung, dass die Summe der Zahlen auf jeder der sechs Seiten des fertigen Würfels immer 100 sein muss. Die zusammenzusetzenden Teile sind dieses Mal verschiedene Quader aus Holz:

Für die Lösung der gestellten Aufgabe ist das transparente, offene Kästchen eine gewisse Hilfe.

Es gibt aber auch zwei Objekte, bei denen die neun gleichen Quader, die aus drei hintereinander geklebten kleinen kongruenten Würfelchen bestehen,  schwarze bzw. rote Punkte zu sehen sind.

Aus ihnen sollen normale “Glückswürfel” gebaut werden. Dabei ist zu beachten, dass die Augenzahlen auf den gegenüberliegenden Würfelseiten immer die Summe sieben haben.

Eine besondere Herausforderung, aus einer eindimensionalen Anordnung von 27 kongruenten Würfelchen eine dreidimensionalen 3x3x3-Würfel zu machen.

Leider liegen die jeweils 27 Würfelchen nicht lose nebeneinander, sondern sind mit einem dehnbaren Faden zu einer Kette verbunden. So sind sie zwar beweglich, aber nur eingeschränkt. Geschicklichkeit und räumliche Vorstellungskraft führen zum Ziel. Es ist aber keine leichte Aufgabe, denn es gibt mehr als 100.000 Möglichkeiten, um die 27 aufgereihten Würfel räumlich zu ordnen.

Hier gibt es aber auch als Hilfe zwei Pläne:

Ein drittes Beispiel für so eine Verwandlung ins Dreidimensionale ist das folgende Objekt. Es besteht aus verbundenen Würfeln, die an den Ecken abgerundet sind.

Es gibt in der Mathothek etliche solcher “Snake-cubes”:

Eine recht knifflige Herausforderung ist auch der folgende “Steckwürfel”, beidem die einzelnen Teile aus Holz so gestaltet sind, dass sie nicht einfach “nur” in einer bestimmten Reihenfolge aufeinander gelegt werden können:

Hier noch die angekündigte Lösung:

Natürlich gibt es in der Mathothek auch den Rubik-Cube und etliche Zauberwürfel, die bis heute auf seiner Idee entwickelt wurden. Solche Objekte sollten das räumliche Denken der Studenten fördern. Inzwischen sind es aber Algorithmen, die genutzt werden, um die Zauberwürfel zu lösen. Sie ersetzen dabei oft das eigentlich erwünschte Training des dreidimensionalen Denkens bei den Schülern.

Weitere Exponate in der Mathothek zur Förderung des räumlichen und logischen Denkens sind spezielle und mathematisch interessante Würfel, z.B. der Somawürfel:

… oder auch der Conwaywürfel:

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