Weitere interessante nicht-quadratische Anordnungen von Zahlen – Zahlenmagie in verschiedenen geometrischen Formen

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Zu den sehr vielen verschiedenen Exponaten zum Thema magische Quadrate, die in einem ausführlichen Beitrag vorgestellt und erklärt werden, gibt es noch weitere Herausforderungen, eine gegebene Menge an natürlichen Zahlen in eine bestimmte Anordnung zu bringen, die bestimmte Bedingungen erfüllen muss. Spiel und intellektuelle Arbeit werden hier zur Schulung von Logik, Zahlen- und Ordnungssinn genutzt. Für viele bieten diese Objekte so eine sinnvolle und befriedigende Herausforderung außerhalb der alltäglichen Pflichten.

Es gibt – bis auf Drehungen und Spiegelungen – nur ein magisches Sechseck. Dieses regelmäßige Sechseck hat eine wabenförmige Innenfläche, in die die 19 kleinen regelmäßigen Sechsecke mit den Zahlen 1 bis 19 so eingefügt werden müssen, dass die Summe der Zahlen in den Zeilen der sechs möglichen Richtungen immer dieselbe ist. Dabei beträgt die magische Konstante bei diesem magischen Sechseck 38. Die Lösung findet Ihr am Ende.

Für dieselbe Aufgabe gibt es noch ein weiteres Objekt mit 19 regelmäßigen Sechsecken aus Plastik, die ohne vorgegebenen Rahmen zu diesem magischen Sechseck gelegt werden können.

Ein weiteres magisches Sechseck ist in 24 kleine gleichseitige Dreiecke eingeteilt. Hier müssen die Zahlen 1 bis 24 so eingetragen werden, dass die Summen der Zahlen in jeder geraden Reihe 75 beträgt, d.h. die magische Konstante beträgt 75. Als Lösungshilfe sind einige Zahlen vorgegeben. Auch hier findest Du die Lösung am Ende.

Ein gleichseitiges Dreieck ist die Grundfigur für die nächste magische Figur, in die die Zahlen von 1 bis 9 so eingetragen werden sollen, dass 1, 2 und 3 sich auf den Ecken des Dreiecks befinden und die Summen der auf den Seiten gesetzten Zahlen 16, 17 und 18 ergeben. Hier gibt es also keine magische Konstante. Die Lösung findet Ihr wieder am Ende.

Bei der nächsten magischen Figur ist ein Hexagramm oder Davidstern die zugrundeliegende magische Figur. Die Zahlen von 1 bis 12 sind dabei so auf die Sternspitzen zu verteilen, dass die magische Konstante – die Summe der vier Zahlen in jeder der sechs Strecken – 26 beträgt. In dieser Aufgabe sind als Erleichterung der Aufgabe schon sechs Zahlen platziert worden. Auch hier ist die Lösung am Schluss angegeben.

Für alle von Euch, denen diese Aufgabe zu leicht erscheint, gibt es hier eine schwierigere Variante ohne Hilfe, aber auch am Schluss die richtige Lösung.

Bei dieser schwierigen Aufgabe sind die 12 mit den Ziffern von 1 bis 12 benannten Chips so auf die schwarzen Punkte zu setzen, dass die Zahlen auf jeder Dreiecksseite die magische Konstante 26 vom vorigen Beispiel ergeben. Hinweis: Die Lösungshilfe von oben sollte natürlich nicht benutzt werden und ein neues magisches Hexagramm gesucht werden. Aber auch gibt es eine Lösung am Ende des Artikels.

Alle Chips für die drei Aufgaben befinden sich in einem Kästchen:

Auch die magische Grundfigur für die nächste Aufgabe ist ein regelmäßiges Vieleck, und zwar eines mit fünf Ecken, ein Pentagramm oder ein Drudenfuß. Ein Pentagramm entsteht aus den fünf Diagonalen eines regelmäßigen Fünfecks. Die zehn braunen Chips mit den “goldenen” Zahlen 1 bis 10 müssen so auf die zehn Schnittpunkte gesetzt werden, dass die Summe der vier Zahlen auf einer Diagonalen jeweils die magische Konstante 32 ergibt. 

Ein ziemlich anderer Typ einer Aufgabenstellung für eine magische Figur ist die folgende. Hier sind auch einige Zahlen bereits als Hilfe eingetragen und die Lösung am Ende zu finden.

Die Aufgabe lautet hier, setze die kleinen Holzzylinderchen so auf die freien kleinen schwarzen Punkte, dass die Summe der vier Zahlen um einen dicken schwarzen Punkt immer gleich der magischen Konstanten ist, nämlich 34. 

Ein z.Z. wieder sehr beliebtes Exponat der Mathothek ist Rubik’s Cube, ein Drehpuzzle aus den 1970er Jahren. Ebenso fasziniert sind viele Besucher von der Fülle der Nachkommen dieses verdrehbaren Zahlenwürfels. Einer dieser Zauberwürfel trägt auf jeder seiner sechs Seiten jeweils eine Anordnung des kleinsten magischen Quadrats, dem Lo Shu. Dabei sind die Varianten dieses kleinsten magischen Quadrats alle nur durch Symmetrien unterschieden. Sich mit diesen symmetrischen Eigenschaften des Lo Shu zu beschäftigen, macht ein Teil des Zaubers dieses Würfels aus.

Auf jeden der goldenen Sterne muss ein Holzstern mit einer Zahl so gesetzt werden, dass die Summe der vier Zahlen in jedem Kreis und auf jeder geraden Strecke 50 ergibt. Auch sind bereits einige Zahlen vorgegeben und die Lösung befindet sich am Schluss.

Noch überraschender ist das nächste Beispiel für eine magische Figur.

Diese magische Figur besteht zunächst aus vier konzentrischen Kreisen und dann aus vier orthogonalen Durchmessern. Die in dem kleinen transparenten Kästchen befindlichen kleineren acht hellen und acht dunklen Chips mit den Zahlen von 1 bis 16 (ungerade Zahlen befinden sich auf den hellen und gerade Zahlen auf den dunklen Chips). Diese 16 Zahlen sind nun auf die 16 Schnittpunkte der vier Kreise mit den vier Radien so zu verteilen, dass die Summen jeweils gleich groß sind. Dazu sollen auch die vier Zahlen, die jeweils auf einer “eckigen Spirale” liegen, dieselbe Summe ergeben. Dabei beträgt die magische Konstante in dieser magischen Figur 34. Ein Beispiel für eine solche Spirale ist rot eingezeichnet. Natürlich gibt es insgesamt acht solcher “eckigen Spiralen”, vier in Richtung des roten Beispiels und vier in der entgegengesetzten Drehrichtung. Auch die Zweifarbigkeit der nummerierten Chips ist eine Lösungshilfe. Nicht verzweifeln, am Ende findet Ihr die richtige Lösung und dürft Euch über die Idee zu dieser Realisierung amüsieren. Tipp: Beginne mit der Eins auf dem größten Kreis und dem Beginn der roten Spirale. Auf jeder Spirale liegen nur helle oder nur dunkle Chips.

Und nun die Lösungen:

 

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