Mathothek

Schon an der Außentür der Mathothek zieht dieses nicht ganz regelmäßige Sechseck den Blick der Besucher auf sich und praktisch jeder versucht, in der zunächst verwirrenden Verteilung der schwarzen Punkte nach vorhandenen Regelmäßigkeiten, wiederkehrenden Anordnungen, Wiederholungen einmal gefundener Formen, also nach einer geordneten Struktur oder einem Muster, zu suchen, die das Chaos für ihn übersichtlich und einsichtig machen könnte.

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In der Tat erkennt man immer wieder kleinere und dann auch größere Kreise, die getrennt sind oder konzentrisch auftreten, aber sich auch überschneiden können. Man glaubt manchmal auch für einen Moment, linienartig oder wellenartig angeordnete Strukturen zu erkennen. 

Aber unser Gehirn verwirft die meisten dieser Versuche auch ganz schnell wieder, weil der Betrachter hier unbedingt ein strukturiertes System oder ein durchgehendes Muster erfassen will. Er versucht nach kurzer Zeit mehrfach wieder, weitere neue Ansätze zu finden, um sie zu bestätigen oder erneut zu verwerfen. Ohne Erfolg!

So erging es vermutlich auch einem Schüler. In seiner verzweifelten Situation versuchte er darum, das von ihm vermutete Muster oder die Struktur mit einem Bleistift “festzuhalten”. Eine Idee, die sehr einleuchtend erscheint, aber eine Tat, die nicht erlaubt ist. Aber es führte sein lobenswerter “Forscherdrang” doch nicht zum gewünschten Ergebnis, jedoch zu einem schlechten Gewissen. Davon zeugten die vielen, über einen längeren Zeitraum gemachten Versuche, die Spuren seiner Forschung mit einem Radiergummi zu beseitigen.

Es existiert in diesem Punkte-Wirrwarr kein durchgehendes, sich regelmäßig wiederholendes Muster. Wir sehen aber mithilfe unseres Gehirns vorhandene Formen und Teilmuster und werden von dem drängenden Wunsch nach und dem Glauben an die Existenz eines uns beruhigenden Musters angetrieben, weitere Konstruktionsversuche zu machen.

Woher kommen dieser Wunsch und der Glauben? Sie sind wohl evolutionär angelegt als auch durch unsere historischen und individuellen Erfahrungen bedingt.

Der Mensch entwickelt schon sehr früh ein Gefühl für Gleichgewicht, Ausgewogenheit, Stabilität usw. und damit auch in abstrakterer Form den Sinn für Symmetrie und Proportionen. Durch die genauere und immer tiefer gehenden Auseinandersetzung mit den verschiedenen Symmetrietypen, wie Symmetrien in der Ebene oder dem Raum, Drehsymmetrien, Translationssymmetrien usw. erweitert und vertieft sich unsere Vorstellung von symmetrischen Beziehungen immer mehr, aber auch die Bereiche, in denen wir Symmetrie sehen und nutzen, werden mehr und umfänglicher.

In der Mathothek gibt es eine sehr breite Menge an Objekten, in denen Besucher Symmetrien erkennen können:

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Erst mit zunehmender Fähigkeit, auch kritisch gegenüber Abstraktionen zu sein, folgt die ernüchternde Einsicht, dass es in der Natur und der gesamten Umwelt keine strenge Symmetrie im mathematischen Sinne gibt. Trotzdem halten praktisch alle an dem hilfreichen und sich bewährenden Konzept der Symmetrien, Harmonien und Proportionen fest. Wir werden zunehmend sicher, dass die Natur nach Gesetzen funktioniert und kein unberechenbares Chaos ist.

Es ist schon sehr erstaunlich, wie stark Menschen auf symmetrische Muster reagieren, diese trotz mehr oder weniger Abweichungen sehen und verwenden. Obwohl sie in der Realität nirgends in mathematischer Strenge vorkommen, spielen Symmetrien doch überall im Alltag, in der Technik, der Natur und der Kunst eine große Rolle: Die Symmetrie ist ein wesentlicher Baustein unseres Weltbildes, ein Hilfsmittel unserer Welterkenntnis und ein Kompass für unsere Orientierung in der Welt.

Extrem zeigt sich dieser die Umwelt überschaubarer machende Drang, wenn man Symmetrie erwartet und Asymmetrie gegenübersteht. So passiert es immer wieder in der Mathothek, wenn Besucher zum ersten Mal das Bild eines Heilbutts sehen: Die Asymmetrie der beiden Augen, die auf einer Seite des Kopfes sitzen, sind so ungewohnt und zunächst auch völlig unerklärlich, dass die meisten mehr oder weniger entsetzt reagieren.

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Aber auch eine Haustür, die auf dem Fußweg von der Mathothek zum Hauptbahnhof zu sehen ist, fällt auf und fordert unsere fragende Wahrnehmung heraus.

Symmetrien wirken beruhigend auf uns Menschen. Das gilt sowohl für natürliche als auch für vom Menschen geschaffene Dinge oder Verhältnisse. Viele Beispiele dazu liefern die zahlreichen Exponate der Mathothek zum Thema Parkettierungen. Regelmäßige Vielecke, die die gesamte Ebene lückenlos und ohne Überlappung bedecken, weisen klare Muster und Wiederholungen auf. Wir erkennen schnell diese regelmäßigen Formen und periodischen Anordnungen und können uns beruhigt zurücklehnen, die Situation ist überschaubar.

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Das wird bei den folgenden Parkettierungen schon nicht mehr so einfach:

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Wir können zwar noch einzelne Muster und vor allem jeweils zwei Grundelemente wahrnehmen, aber keine sicheren Regeln über die Pflasterung. Bei diesen beiden Penrose-Parketten gibt es keine regelmäßige Wiederkehr, sie sind nicht periodisch. Inzwischen weiß man, dass es auch in der Natur solche Strukturen gibt.

Das folgende Exponat ist vielen – in der Form – durchaus von Eignungs- oder Begabungstests her bekannt:

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Einige Zahlen einer möglicherweise unendlichen Folge von natürlichen Zahlen sind vorgegeben und sollen durch auf sie folgende Zahlen ergänzt werden. Im obigen Beispiel sind 1, 4, 9, 16 und 25 vorgegebenen. Tatsächlich können wir ein Muster oder eine Regel erkennen, wie es weiter gehen wird: 36, 49, 64, 81 und 100. Aus den ersten Zahlen kann man erkennen, dass sie die Quadrate der natürlichen Zahlen 1 bis 5 sind. Mit dieser Erkenntnis erfolgt die begründbare und wohl auch erwartete Auswahl der nächsten Folgeglieder. Allerdings sind diese Ergänzungen wohl aussagekräftig im Hinblick auf Fähigkeiten des Kandidaten, aber nicht wirklich zwangsläufig. Dieser Teiltest zeigt aber, dass das Erkennen und Anwenden mathematischer Muster zu den wesentlichen Eigenschaften der üblichen Intelligenzvorstellungen gerechnet wird. In der Mathematik werden besonders unendliche Folgen und Reihen auf Muster untersucht, um Eigenschaften dieser unendlichen, angeordneten Zahlenreihen zu kommen, z.B. die Kreiszahl π, die eulersche Zahl e, die Zahlen des pascalschen Dreiecks und ihre Anordnung usw.

Auch hierzu lassen sich viele Exponate in der Mathothek benutzen:

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Aber zu dieser Fähigkeit gehört unbedingt auch die Fähigkeit zur kritischen Überprüfung der gefundenen Vermutungen. Das zeigt besonders deutlich das nächste Experiment der Mathothek:

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Dieses Experiment ist fast gemein. Sechs hölzerne Kreise besitzen ein bis sechs schwarz markierte Randpunkte, die geradlinig verbunden sind und damit den Kreis in verschiedene Flächen zerlegen. Da drängt sich natürlich die Frage auf, gibt es einen Zusammenhang zwischen der Anzahl der Randpunkte und der Zahl der Flächen. Untersucht man diese Frage schrittweise, so scheint es so zu sein, dass zu 1 Punkt 1 Fläche gehört, zu 2 Punkten 2 Flächen, zu 3 Punkten 4, zu 4 Punkten 8 Flächen und zu 5 Punkten 16 Flächen gehören. Diese Beobachtung lässt uns ein Muster vermuten, dass nämlich bei n Punkten 2^n-1 Flächen entstehen. Und schon würden wir unserem Bedürfnis erliegen, Muster zu sehen und einem Irrtum erliegen. Um das zu erkennen, brauchst Du nur die Zahl der Flächen des Kreises mit den 6 Randpunkten zu überprüfen.

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Hier zeigt sich beispielhaft, wo die Gefahren unserer “Mustersuche” lauern, nämlich in der zu schnellen und der ungesicherten Verallgemeinerung. In der Mathothek gibt es zahlreiche Exponate zum Prinzip der vollständigen Induktion, eine der mathematischen Möglichkeiten, Mustervermutungen wirklich abzusichern. Hier zeigen Fotos eine sehr einfache Darstellung des Prinzips der vollständigen Induktion, das in der Mathothek zugänglich ist:

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Die Herausforderung der Umsetzung des Turms von Hanoi ist sicher vielen schon bekannt und vielleicht auch die Lösung auch. Für den Beweis, dass die Strategie in Schritten zum Erfolg führt, ist auch das Erkennen eines Musters, das zum Ziel führt. Um ganz sicherzugehen und sich nicht auf seine Erfahrung und sein Gefühl zu verlassen, bedarf es einer mathematischen Absicherung: der vollständigen Induktion.

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In der griechischen Antike wurden fünf mathematische Körper ganz groß herausgestellt und standen für die vier Elemente Erde, Luft, Feuer, Wasser sowie das Ganze, den Kosmos. Es waren die fünf platonischen Körper:

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Diese fünf Körper zeichnet ein Höchstmaß an Symmetrie aus: die Seiten bestehen aus regelmäßigen Vielecken und alle Ecken sehen gleich aus. Drei platonische Körper sind aus gleichseitigen Dreiecken gebaut und haben es so geschafft, aus den insgesamt zehn möglichen Körpern mit gleichseitigen Dreiecken als Seiten  in die “göttliche Liga” zu gelangen. Hier Bilder der Disqualifizierten.

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Der große Astronom und Mathematiker Johannes Kepler (1571 – 1630) hat  zunächst noch versucht, die Abstände und Umlaufbahnen der Planeten mit den platonischen Körpern in Verbindung zu bringen, so wie es an einem Pappmodell in der Mathothek anschaulich wiedergegeben wird:

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Entsprechend seiner Überzeugung über die harmonischen Beziehungen im Kosmos vermutete Johannes Kepler (1571 – 1630) einen solchen zwischen  den Umlaufbahnen der Planeten und den platonischen Körpern.  So entstand sein Modell, das er mit den fünf platonischen Körpern sowie deren In- und Umkreisen und in seinem Werk Mysterium Cosmographikum beschrieb.

In der Mathothek ist ein anfassbares Model aus stabiler Pappe zu finden.

Aber bei seinen Arbeiten entdeckte er auch, dass die Bahnen der Planeten keine Kreise, sondern Ellipsen sind. Die von ihm erkannten und beschriebenen drei Gesetze der Planetenbewegungen sind heute noch gültig. Wesentliche Grundlage seiner wissenschaftlichen Arbeit waren die äußerst zahlreichen Aufzeichnungen der Planetenbewegungen über einen langen Zeitraum, die seinem Vorgänger Tycho Brahe gesammelt hatte. Durch die Muster in den Daten entdeckte Kepler auch, dass die Umlaufbahnen der Planeten keine exakten Kreise sind, sondern Ellipsen. Die von ihm erkannten drei Gesetze der Planetenbewegungen sind auch heute noch gültig.

In der Mathothek haben viele Exponate mit den sinnlichen Eindrücken und den darauf aufbauenden Vermutungen zu tun, aber auch mit der Feststellung, dass die sinnlich wahrgenommenen Muster und die allzu oft zu schnelle Deutung zu Irrtümern führen können. Deswegen befinden sich zu Recht in der Mathothek viele faszinierende Objekte zur optischen Täuschung:

So sehen wir hier abwechselnd weiße Quadrate oder schwarze Pfeile:

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Hier sehen wir sogar ein helles Dreieck, dass es überhaupt nicht gibt:

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Bei einem Modell des Ames’schen Raumes scheint es sich um einen ganz gewöhnlichen Raum zu handeln, in dem sich zwei verschieden große Männchen zu befinden scheinen, wenn wir durch das kleine Guckloch blicken. Aber beim genaueren Betrachten des Objektes sehen wir einen völlig verrückt gestalteten Raum mit zwei gleich großen Figuren. Wir sehen ein vertrautes Muster, weil unser Gehirn das will und der Blickpunkt das auch zulässt. 

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Bei dem folgenden Experiment erlebt man, dass wir oft und schnell zu vertrauten Mustern greifen, um uns ein Objekt zu erklären. Wir halten aufgrund unserer bisherigen Erfahrungen oft ein irgendwie vertrauteres Muster für wahrscheinlich als ein uns weniger bekanntes. Zum Beispiel meinen praktisch alle Befragten, dass es sich bei den nicht ganz vollständig zu sehenden dunkleren Linien um Quadrate handele.

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In Wirklichkeit handelt es sich aber um eine fortlaufende Linie, eine “eckige Spirale”.

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Nach Anleitung bauten Schüler eines Mathe-Leistungskurses ein verblüffendes Objekt zur optischen Täuschung:

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Auch hier meinen wir zunächst, ein scheinbar reelles 3D-Objekt einer Kiste vor uns zu haben. Beim weiteren Betrachten tauchen aber erste Zweifel auf, ob ein solches Objekt wirklich konstruierbar ist. Können wir unseren “Blickpunkt” nicht verändern, dann hat unser Gehirn einige Arbeit zu leisten. Aber eine kleine Änderung unseres Standpunktes zeigt uns den optischen Schwindel:

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Dieses Foto (unten) – es ist tatsächlich ein einziges Foto, das um 180° gedreht wurde – ist noch überraschender hinsichtlich der Muster und Deutungen, die es in unserem Gehirn auslöst, als das Originalobjekt aus dem 3D-Drucker in der Mathothek. Konkav oder konvex? Mögliches Dreieck oder unmögliche Konstruktion?

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Das Suchen nach Mustern und Erkennen von Gesetzen ist uralt. Nehmen wir als Beispiel die Himmelsscheibe von Nebra, deren Alter auf 3.700 bis 4.100 Jahre datiert wird, so ist dort vermutlich ein bestimmtes Muster am Himmel dargestellt, indem es um eine bestimmte Mondphase und Stellung der Plejaden geht und damit wohl einen für den Ackerbau wichtigen Termin angibt. Die Erkenntnis vom periodischen Zusammenfallen einer besonderen Konstellation am Himmel und einem für den Ackerbau wesentlichen Zeitpunkt der Aussaat begründete auch entsprechende gesellschaftliche Differenzierungen und Herrschaftsverhältnisse.

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Es gibt auch Bereiche, wo der Mensch ebenfalls mit großer Leidenschaft Muster sucht und oft auch sieht, aber die abgeleiteten Regeln sind dann meist nur Wunschdenken.

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Fragen nach den Vorhersagemöglichkeiten im Glücksspiel wurden immer wieder von besessenen Spielern gestellt und durch das Beobachten und Deuten von Mustern versucht zu beantworten. Es lag in der Natur der Sache, dass diesem Bestreben meist kein Erfolg beschieden war. Aber aus dem Glücksspiel und seiner Unvorhersehbarkeit entstand auch die solide mathematische Theorie der Wahrscheinlichkeits-Rechnung mit ihren nüchternen Ergebnissen und Aussagen. Hier sei als häufiges Beispiel nur die Vermutung genannt, dass aus dem Ausbleiben einer bestimmten Zahl über einen sehr langen Zeitraum hinweg, sich deren Wahrscheinlichkeit erhöhen müsste. Aus einem erkannten Muster wird hier der falsche Schluss gezogen. Natürlich zeigen die beobachteten Muster bei der Lottoziehung langfristig eine Annäherung an die relativen Häufigkeiten. Aber die Wahrscheinlichkeiten möglicher Ziehungsausgänge bleibt gleich.

Viele Experimente der Mathothek sind gut geeignet, den Erfahrungsbereich inbezug auf Wahrscheinlichkeit und Erwartung zu erweitern:

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Das Entdecken und Erkennen von Mustern in unserer Umwelt ist seit jeher mit vielen Überlebensvorteilen verbunden gewesen. Wir entdecken über die Muster mögliche Regel- und gar Gesetzmäßigkeiten, die uns helfen, die Welt besser zu verstehen und uns sicherer in ihr zu orientieren und einzurichten. Gerade die Verlässlichkeit der Welt wird daher von uns Menschen als beruhigend geschätzt. So können gefährliche Situationen und sich gefährdendes Verhalten besser gemeistert oder gar vermieden werden. Der Mensch kann sein Verhalten und seine Bedürfnisse besser planen und befriedigen. Das Gegenteil, nämlich eine unverstehbare Welt ohne erkennbare Muster und mit der menschlichen Vernunft nicht erfassbaren Regeln, – also das reine Chaos – wäre wohl die Hölle für den Menschen. Aber das Suchen und Erkennen von Mustern allein ist zwar kreativ, reicht aber bei weitem nicht aus. Damit aus beobachteten Mustern als gültige Regeln oder gar universell gültige Gesetze erkannt werden, müssen sie einer streng rationalen, logischen und mathematischen Prüfung unterzogen werden.

… und ganz Schluss noch ein besonderes interaktives Exponat der Mathothek zur Konkreten Kunst. Ein Exponat der Mathothek macht die Auseinandersetzung mit Ordnung, also Muster und Regel, und Zufall besonders spürbar: Es ist einer Serie der Künstlerin Ingrid Hornef nachempfunden, in der es ihr um Ordnung und Zufall geht. Bei dem Objekt hier in der Mathothek geht es entsprechend der Idee der Künstlerin darum, sechs Motivkärtchen auszuwählen und dann durch konsequentes Würfeln das Quadrat in festgelegter Reihenfolge zu füllen. Trotz des zufälligen Charakters der Bildgestaltung wollen wir und lassen sich immer wieder Muster und Teilstrukturen darin entdecken.

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So belegen zahlreiche Exponate in der Mathothek die große Rolle, die die Mathematik in der modernen Kunst spielt, nicht zuletzt in der Abstrakten und Konkreten Kunst:

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In der Mathothek gibt es zahlreiche und ganz verschiedene Exponate zum Thema Kunst und Mathematik, und zwar interaktive Objekte und auch Kataloge, Drucke etc.

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Hier soll ein Zitat der bedeutenden Künstlerin Rune Mields aus einem Interview zu ihrer Ausstellung Infinity 2019 in Wiesbaden stehen:

Auf die Frage:“Was ist so reizvoll an Mathematik?” 

Antwortete die Künstlerin: “Die Logik, die darin steckt. Die einfache Wahrheit. Eins und eins macht immer zwei.“

Auf die Mustersuche mithilfe “unserer Rechenknechte” in sehr großen Datenmengen, mit dem Ziel, Algorithmen zu entdecken und dann anzuwenden, soll hier nur hingewiesen werden. Diese Entwicklung zeigt aber die große Hoffnung der Menschen mithilfe von ihnen geschaffener Maschinen, die Suche nach Mustern auf immer mehr und immer größere Felder auszudehnen.