Wie können wir helfen?
Bei zahlreichen Exponaten zur Parkettierung in der Mathothek geht es um die vollständige, lückenlose und überlappungsfreie Bedeckung der Ebene mit den gleichen Kacheln. Bei diesen beiden Parkettierungen geht es um die lückenlose und überlappungsfreie Parkettierung von Rechtecken – zu denen ja auch das Quadrat gehört – mit paarweise verschieden großen Quadraten. Obwohl das nichts mit der “Quadratur des Kreises” zu tun hat, spricht man scherzhaft auch hier von der “Quadratur des Rechtecks” oder von einer Zerlegung des Rechtecks.
Hier ist eine Zerlegung eines fast quadratischen Rechtecks in neun Quadrate, die paarweise nicht deckungsgleich sind, zu rekonstruieren. Sie wurde von Z. Morón 1925 gefunden. Dabei ist neun die kleinste Zahl, die bei einer Rechteckszerlegung in verschieden große Quadrate überhaupt vorkommen kann. Eine großartige Leistung! Aber auch die Rekonstruktion ist noch eine hübsche Arbeit. Dass das kleinste Quadrat festgeklebt ist, dient dem Schutz vorm Verlorengehen, aber auch als Hilfe. Die Setenlängen der Quadrate betragen 1, 4, 7, 8, 9, 10, 14, 15 und 18. Das Rechteck hat die Länge 33 und die Breite 32.
Das nächste Exponat der Mathothek ist recht groß und umfangreich. Aus den vier teilweise gerahmten Quadraten lässt sich ein großes Gesamtquadrat legen. Die 21 dunkelrot, rosa, gelben und hellblauen Quadrate sind sichtbar alle verschieden groß. Sie füllen das Grundquadrat vollständig aus, ohne sich irgendwie zu überlappen.
Die “Quadratur des Quadrates” – die noch viel größere Herausforderung – erfolgte in verschiedenen Etappen, bis mit reichlich Computer-Arbeit der niederländische Informatiker und Mathematiker A.J.W. Duijvestijn 1978 eine solche einfache und perfekte Zerlegung eines Quadrats der Ordnung 21 herausfand. Dabei bedeutet die Ordnung 21, dass er 21 Teilquadrate benötigte, perfekt heißt, dass keine zwei dieser 21 Quadrate kongruent (=deckungsgleich) sind, und keine Teilmenge von Teilquadraten ein Rechteck bildet. Er bewies auch dass 21 die kleinste Zahl von Quadraten für eine solche Zerlegung ist und dass das von ihm gefundene Quadrat das einzige perfekte Quadrat der Ordnung 21 ist.
Die Teilquadrate haben die Seitenlängen 2, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 15, 16, 17, 18, 19, 24, 25, 27, 29, 33, 35, 37, 42 und 50. Das Grundquadrat ist 112 Einheiten lang.
Bisher habe ich noch nicht erlebt, dass ein einzelner Besucher der Mathothek das perfekte Quadrat geschafft hat, aber kleine Gruppen schaffen es praktisch immer, zumindest nach einer kurzen Phase des Aufeinandereinspielens.
Eine kleine Hilfe bei der Lösung der beiden “Quadraturen” ist der Hinweis, dass keine gleich gefärbten Quadrate nebeneinander liegen:
Die Information, dass auch inzwischen bewiesen ist, dass man zu jeder beliebigen Zahl eine perfekte Zerlegung eines Quadrates bekommen kann, wenn nur diese Zahl mindestens 21 beträgt, macht Schüler öfter im Anblick der neun Teilquadrate des morónschen fast-quadratischen Rechtecks stutzig. Nach einigen erfolglosen Versuchen den Widerspruch aufzulösen, kommt jemand auf die Idee, das morónsche “Quadrat” zu überprüfen. So löst sich dann der Widerspruch.