Wie können wir helfen?
Wenn man eine gegebene Fläche in Teile zerlegt und diese Teile – ohne Überlappung – zu einer neuen Fläche zusammensetzt, so sind diese beiden Flächen gleich groß oder besitzen denselben Flächeninhalt. Dieses mathematische Grundprinzip ist sehr wichtig für die Geometrie in der Ebene.
Diese Dose enthält insgesamt 13 Teile, die aus dünnen weißen Plastikplatten ausgesägt wurden. Jeder der drei Sätze polygonaler Teile lässt sich sowohl zu einem Quadrat als auch zu einem griechischen Kreuz zusammensetzen. Ein griechisches Kreuz ist eine kreuzförmige Fläche, bei der jeder der vier Kreuzarme gleichlang ist, oder – was dasselbe ist – aus fünf gleichgroßen Quadraten besteht.
Mit diesem Exponat der Mathothek lassen sich folglich mehrere interessante geometrische Aufgaben stellen und lösen:
- Lege aus den zusammengehörigen Teilen jeweils ein Quadrat, und zwar auf drei verschiedenen Wegen
- Lege aus den zusammengehörigen Teilen jeweils ein griechisches Kreuz, und zwar auf drei verschiedene Weisen
- Indem man ein Quadrat vorgibt, stellt sich die Aufgabe, aus seinen Teilen ein griechisches Kreuz zu legen, ebenfalls in drei Varianten
- Indem man ein griechisches Kreuz vorgibt, besteht die Aufgabe darin, aus seinen Teilen ein Quadrat zu legen, ebenfalls auf drei unterschiedlichen Wegen
- Mit jedem der drei Puzzles lässt sich auch die Aufgabe stellen und lösen, ein Quadrat in fünf gleichgroße Quadrate zu verwandeln.
- Natürlich kann man mit jedem der drei Puzzles die Aufgabe stellen und lösen, fünf gleichgroße Quadrate in ein einziges Quadrat zu verwandeln, dass denselben Flächeninhalt hat wie die fünf zusammen.
Die beiden letzten Punkte sind besonders nah an der Geometrie, weil sie sich auch abstrakt formulieren lassen: Finde eine Konstruktion, mit deren Hilfe sich ein gegebenes Quadrat in fünf kleinere Quadrate aufteilen lässt, die untereinander gleichgroß sind und zusammen denselben Flächeninhalt besitzen wie das gegebene Quadrat. Ohne jegliche Hilfe dürfte diese Aufgabe die meisten Menschen überfordern. Mit den Teilen dieses Exponats lassen sich auf “knobelndem” Wege relativ leicht drei Konstruktionen finden. Diese sind auch wirklich allgemeingültig, weil in der Argumentation keinerlei Anleihe auf spezielle Eigenschaften des konkreten Quadrats gemacht werden, sondern für jedes gegebene Quadrat gültig sind.
Das Besondere an dieser Lösung ist, dass sowohl Quadrat als auch griechisches Kreuz aus vier deckungsgleichen (=kongruenten) Flächen bestehen. Während das letzte Beispiel besonders elegant und einleuchtend ist.
Es gibt noch mehr Exponate zu Flächenzerlegung und -verwandlung in der Mathothek, z.B. im Zusammenhang mit der Flächenberechnung bei Vielecken, aber auch speziell zu Quadrat und gleichseitigem Dreieck.
In dem schönen Holzkästchen, das mit Messingsternen verziert wurde, befinden sich acht polygonale Teile aus Sperrholz. Es sind je vier Figuren, die jeweils doppelt vorhanden sind. Ein Satz besteht aus vier losen Teilen, bei dem zweiten sind diese vier Teile mit einem Band zu einer Kette verbunden. Mit jedem der beiden Sätze lassen sich sowohl ein Quadrat, aber auch ein gleichgroßes gleichseitiges Dreieck zusammensetzen. Bei den zu einer Kette verbundenen Teilen ist das sehr einfach und dann das Ergebnis auf die losen Teile übertragbar.
Diese Zerlegung, mit der sich ein Quadrat in ein gleichseitiges Dreieck mit demselben Flächeninhalt verwandeln lässt und umgekehrt, ist nicht so leicht zu entdecken.
Die in diesem Exponat der Mathothek gezeigte Lösung geht auf den englischen Schriftsteller und Erfinder mathematischer Rätsel und Knobeleien Henry Ernest Dudeney (1857 – 1930) zurück. Dudeney hat dieses Puzzle 1902 unter der Bezeichnung “Haberdasher’s Puzzle” veröffentlicht und später auch die “Ketten-Version”. Heute findet man auch die aussagefähige Bezeichnung “Quadreieck” für dieses interessante Puzzle.
Da sich das Quadrat dazu eignet, die Ebene zu parkettieren (lückenlos und ohne Überlappung zu bedecken), lassen sich mit den Objekten oben symmetrische und periodische Muster in der Ebene erzeugen. Ein interaktives Exponat sind die 36 Sperrholzquadrate in dem roten Metallkästchen.
