Verknüpfungstafel – Vereinigung von geometrischen Figuren

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Dieses Exponat der Mathothek erinnert vielleicht noch manche Besucher der Mathothek an ihre Begegnung in ihrer Schulzeit mit der sogenannten “Mengenlehre”. Sie war der letzte Schrei der Lehrpläne für den Mathematikunterricht in den 1980er Jahren. Genauso verschwand sie dann auch wieder aus den Lehrplänen. Trotzdem sind Verknüpfungstafeln ein wichtiger Begriff in der Mathematik. Mit ihnen lassen sich Zuordnungen von Elementenpaaren zweier Mengen zu den Elementen einer dritten Menge darstellen. Was hier gemeint ist, soll am Beispiel dieses Exponates gezeigt werden.

Das Objekt besteht aus einem blauen Sperrholzbrett mit 6×6 Quadraten. Diese 36 kleinen Quadrate können mit 36 gleichgroßen weißen Plastikkärtchen, die mit schwarzen Figuren bemalt sind, abgedeckt werden. Das Quadrat in der linken oberen Ecke enthält ein Vereinigungszeichen für die Art der Verknüpfung. Dann befinden sich am oberen Rand fünf Plättchen mit verschiedenen geometrischen Figuren, ebenso fünf Plättchen am linken Rand des Brettes mit verschiedenen geometrischen Figuren.

Sowohl die geometrischen Figuren als auch die Vereinigungsverknüpfung ist frei als Beispiel konstruiert und als Exponat zum Verständnis von Verknüpfungstafeln als Beispiel in der Mathothek gebaut worden.

Hier ein Beispiel für das Ausfüllen der Verknüpfungstafel:

In der vierten Zeile – großer Kreis – und in der zweiten Spalte – waagrechte Mittellinie – wurde das Verknüpfungsergebnis von großem Kreis und waagrechter Mittellinie im Schnittpunkt eingetragen.

Das Verknüpfungsergebnis von dem linken kleinen Kreis mit der rechten senkrechten Strecke liegt im Kreuzungspunkt der fünften Zeile und der dritten Spalte.

Füllt man alle Quadrate mit den Verknüpfungsergebnissen aus, so stellt sich die fertige Verknüpfungstafel folgendermaßen dar:

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Die Untersuchung aller möglichen Verknüpfungen von Elementen zweier Mengen, sowie deren Eigenschaften und ihrer Klassifizierungen ist Gegenstand der Algebra, einer wesentlichen Teildisziplin der Mathematik. Besonders interessante Strukturen sind dabei Gruppen und Körper. Die Menge der natürlichen Zahlen lässt sich mit der Addition verknüpfen, das ergibt aber keine Gruppe. Erst die Menge der ganzen Zahlen bildet mit der Addition als Verknüpfung eine Gruppe. Hier müsste man sich die Verknüpfungstafel nach rechts und nach unten unendlich groß vorstellen.

Auch in der Geometrie gibt es Verknüpfungen, z.B. mit der Hintereinanderausführung als Verknüpfung von geometrischen Abbildungen, wie Drehungen, Spiegelungen etc.

Verknüpfungen kommen auch schon einmal im Alltag vor. Beispielsweise dann, wenn man eine Menge von Städten nimmt und als Verknüpfung ihre paarweisen Entfernungen.

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