Unmögliche Viel-Balken-Konstruktionen – Ein Puzzle bereichert dabei unsere räumliche Vorstellungskraft

Wie können wir helfen?

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In der Mathothek gibt es ein schönes und überraschendes Holzpuzzle Mission Impossible 1:

Jeder Versuch, die Puzzleteile in die Vertiefung einzufügen, lässt ein dreifarbiges Ergebnisbild entstehen, das wie eine zweidimensionale Projektion eines realistischen dreidimensionalen Objektes aussieht. Aber schon nach kurzer Betrachtung meldet unser Gehirn Zweifel an dieser ersten optischen Wahrnehmung und spontanen Deutung: Durch kritische Nachprüfung stellen wir – wie bei jedem möglichen weiteren Versuch fest, dass das vermutete Objekt räumlich nicht konstruierbar ist:

In dem ebenen Abbild des räumlichen Objektes meint unser Gehirn aufgrund seiner Seherfahrungen, einen Gegenstand zu erkennen, der aus mehreren Balken mit quadratischem Querschnitt besteht, wobei diese Balken rechtwinklig zusammengefügt sind. Aus dieser Annahme folgen  dann aber Fehler oder Widersprüche in der Konstruktion. Wir folgern daraus, dass so ein Körper gar nicht existieren, also auch nicht konstruiert werden kann.

In dem Buch Unmögliche Welten von Bruno Ernst gibt es viele interessante Beispiele für solche unmöglichen Viel-Balken-Konstruktionen und ihre scheinbaren ebenen Projektionen.

Der Beitrag über eine sehr raffinierte Methode, die Diego Uribe gefunden hat, aus 32 kongruenten Dreiecken als Bauelementen alle “möglichen” 2D-Bilder aller “unmöglichen” räumlichen Viel-Balken-Konstruktionen zusammenzusetzen, führte zu einem großartigen Puzzle-Experiment in der Mathothek. Die möglichen Ergebnisse sind nur materiell eingeschränkt durch die vorhandenen Anzahlen der gefertigten Puzzleteile, aber natürlich auch grundsätzlich durch die Einschränkung, dass die Balken der Objekte nur senkrecht aufeinander stehen.

Diese praktische, transparente Box enthält 54 Puzzleteile. und zwar als mit farbigen Ecken und Randstreifen versehene gleichseitige Dreiecke. Mit diesen können Puzzles von unmöglichen und auch möglichen 3D-Viel-Balken-Konstruktionen als ebene Projektionen gelegt werden können. Sie enthält ferner einen ähnlich gestalten Würfel und vier kleine Balken, um die Puzzleteile und ihre Funktion besser verstehen zu können.

So zeigen die beiden Fotos – Projektion eines auf die Spitze gestellten Würfels mit drei gefärbten Kanten, die an einer Ecke zusammentreffen (links), und ein aus sechs korrespondierenden Puzzle-Teilen entsprechend gelegtes Sechseck (rechts) – kaum einen Unterschied. Hier lässt sich das Prinzip des ganzen Experiments am besten erfahren.

Ähnliche Erfahrungen lassen sich auch mit den vier kleinen Balken machen:

Ein Beispiel für die Projektion einer Drei-Balken-Konstruktion, die in 3D machbar ist, zeigt das folgende Bild eines Achsenkreuzes:

Es ist phantastisch, wie schnell unser Gehirn auf dieses zweidimensionale Angebot eingeht und wir die Räumlichkeit des Objektes fast zwangsläufig sehen. Sicher leisten hier die gewählten Farben auch noch das Ihrige.

Die Box enthält alle 32 Grundtypen, die Diego Uribe als notwendig und hinreichend gefunden hat, um alle unmöglichen Viel-Balken-Konstruktionen legen zu können:

Alle Puzzle-Dreiecke sind auf der Rückseite mit farbigen Punkten versehen, so auch mit einer der Nummern 1 bis 32 für den Grundtyp nach Uribe. Bei dieser Übersicht beginnt die Nummerierung mit 1 unten links, setzt sich nach oben mit 2, 3 und 4 fort, um dann wieder unten in der zweiten Spalte mit 5, 6, 7 und 8 weiterzugehen usw. Die 32 klebt auf dem obersten Dreieck in der letzten Spalte.

Für die Benutzung der Puzzleteile ist eine andere Einteilung der Dreiecke hilfreich. Sie findet sich in der Einordnung der Dreiecke in der Box: Für diese Kategorisierung nutzen wir, dass es grüne Ecken (Dreiecke) und Seiten (Balken) gibt. So gibt es insgesamt

10 Teile mit einem farbigen Dreieck, die keinen schwarzen Punkt haben,

8 Teile mit einem farbigen Dreieck, die einen schwarzen Punkt haben,

8 Teile mit 2 oder 3 farbigen Dreiecken,

9 Teile mit einem farbigen Dreieck und einem farbigen Balken,

10 Teile mit einem farbigen Balken und

9 Teile mit zwei farbigen Balken.

Mit sechs weiteren Teilen wird aus unserem Bild eines konstruierbaren Achsenkreuzes eine unmögliche Drei-Balken-Konstruktion

Es sollten nie zwei Dreiecke mit einem oder keinem schwarzen Punkt benachbart liegen. Diese Regel ist oft hilfreich. Sie hilft bei der räumlichen Deutung.

Das nächste Beispiel ist praktisch die gleiche unmögliche Zwei-Balken-Konstruktion, wie sie auf dem Titelblatt zu sehen ist, allerdings gespiegelt.

Als Nächstes folgt hier die Abbildung einer unmöglichen Drei-Balken-Konstruktion:

Ein sehr häufig zu sehendes Beispiel für eine unmögliche Zwei-Balken-Konstruktion ist das in sich “verdrehte Dreieck”:

Hier dargestellt in dem Buch Unmögliche Welten:

Um das Nachbauen dieser Beispiele zu erleichtern, sind auf den Rückseiten der Dreiecke farbige Punkte aufgeklebt: Alle Teile für das Achsenkreuz tragen auf der Rückseite einen grauen Punkt, alle Teile für die unmögliche Zweibalken-Konstruktion (Titelfigur) einen dunkelblauen, die für die unmögliche Drei-Balken-Konstruktion einen pinken und für des “verdrehte Dreieck” notwendige Teile haben einen hellblauen Punkt.

Es bedarf einiges an Geduld und auch einiger Erfahrungen, um gelungene und faszinierende Bilder zu legen, aber es lohnt sich! Nur Mut!

In der Mathothek gibt es solch faszinierende Experimente in einer großen Zahl. Wird doch im Umgang mit ihnen die Kreativität und die kritische rationale Überprüfung spielerisch gefördert.

Der erste Blick auf dieses Bild einer Drei-Balken-Konstruktion (Holzlattenkiste) bewirkt zwar zunächst erstaunlich, aber noch nicht unmöglich. Unser Gehirn interpretiert zwei parallele Balken als verdeckt, aber durchgehend. Erst bei genauerer logischer Überprüfung zeigt sich die Unmöglichkeit, dieses Objekt auf diese Weise tatsächlich zu konstruieren.

Ames’scher Raum

Projektionen von 4D-Körpern:

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