Tetraederzahlen – Knobelei mit Kugelpyramiden

Bei diesem Exponat geht es einerseits um die bereits aus der griechischen Antike bekannte Konfiguration von Zahlen und andererseits um eine trickvolle Knobelei. Für die Griechen war Mathematik im wesentlichen Geometrie. Daraus ergab sich eine Vorliebe für Zahlenfolgen, die eine geometrische Konfiguration möglich machten.

Ein Tetraeder ist einer der fünf platonischen Körper. Er besitzt vier gleichseitige Dreiecke als Begrenzungsflächen und gehört damit zu den drei platonischen Körpern, die von gleichseitigen Dreiecken begrenzt sind: Dies sind das Oktaeder (acht gleichseitige Dreiecke), das Ikosaeder (20 gleichseitige Dreiecke) und eben das Tetraeder.

Tetraeder lassen sich gut als dichte Kugelpackungen aufbauen. In unserem Exponat treten dabei die Zahlen 1, 4=3+1, 10=6+4, 20=10+10 und 35=15+20 auf. Dieses sind die ersten fünf Zahlen der Folge der Tetraederzahlen. Beim aufmerksamen Aufbau der Kugeltetraeder lässt sich gut erkennen, wie die nächste und dann alle folgenden Tetraederzahlen gebildet werden können. Dabei treten die Zahlen einer zweiten Zahlenreihe, die der Dreieckszahlen, 3, 6, 10, 15, … auf. Sie entsprechen der Anzahl der Kugel auf einer der jeweiligen Tetraederseiten. Die Dreieckszahlen sind die Summen der ersten zwei, drei, vier, fünf usw. natürlichen Zahlen: 3=1+2, 6=1+2+3, 10=1+2+3+6, 15=1+2+3+4 usw.

Dieses Exponat hat allerdings noch einen Haken: Die Kugeln sind zum Teil in verschieden lange Reihen zusammengeklebt. Es ergibt sich also eine kleine Knobelei, wie man diese Reihen so zusammensetzen muss, dass man die entsprechenden Tetraeder bekommt. Hat man erst das Vier-Kugel-Tetraeder gelöst, dürfte der Rest auch zu schaffen sein. Versuche die beiden Doppelkugelreihen orthogonal (über Kreuz) zu verbinden.

Es handelt sich hier um ein interessantes Knobelspiel, insofern Du einmal wirklich um die Ecke denken musst. Hast Du das erst entdeckt, dann hast Du Dein Können so erweitert, dass Du auch die anderen Tetraeder bauen kannst. Eine schöne Erfahrung!

In der Mathothek gibt es noch weitere Beispiele für figurierte Tetraederzahlen.