Sierpinski-Tetraeder und Menger-Schwamm – Fraktaler Hauch von Nichts

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Diese beiden Exponate der Mathothek haben auf den ersten und auch den zweiten Blick sichtbare Gemeinsamkeiten. Zunächst haben sie insgesamt die Form eines Tetraeders bzw. eines Würfels. Dann erkennt man Lücken im Aufbau des Tetraeders bzw. des Würfels, die aber nicht zufällig sind, sondern eine bestimmte Struktur besitzen.

Das erste Objekt wurde aus Wattekugeln mit Alleskleber gebaut, der Würfel entstand aus zusammengeklebten kleinen Spielwürfeln.

Um dem speziellen mathematischen Charakter der Struktur der Lücken auf die Spur zu kommen, schauen wir uns das Muster in einem Sierpinski-Dreieck an. Das nach dem polnischen Mathematiker Waclaw Sierpinski (1882-1969) benannte Dreieck ist das 2D-Objekt zum dreidimensionalen Sierpinski-Tetraeder.

Man beginnt mit einem gleichseitigen Dreieck. Im nächsten Schritt schneidet man aus diesem ein gleichseitiges Dreieck heraus. Sie sind verkleinerte Kopien des vorausgegangenen Dreiecks. Man spricht hier auch von der perfekten Selbstähnlichkeit des Sierpinski-Dreiecks. Alle auftretenden gleichseitigen Dreiecke sind selbstähnlich. Jede neue Generation Dreiecke entsteht durch Vierteilung des vorherigen Dreiecks. Bei der folgenden Figur des Ausgangsdreiecks fehlt  ein Viertel von dessen Fläche. Und das ist bei jedem weiteren Schritt der Fall. Immer geht ein Viertel der Dreiecksfläche verloren. Damit bleibt nach dem ersten Schritt nur noch 3/4 der Ausgangsfläche, deren Größe wir als 1 annehmen dürfen. Somit beträgt der Flächeninhalt (blau) nach dem fünften Schritt nur noch (3/4)5. Nach n Schritten ist die verbleibende Fläche nur noch (3/4)n groß. Es handelt sich um eine geometrische Reihe, die gegen null strebt. Daher “fraktaler Hauch von nichts”.

Sieht man sich eine Seite des Sierpinski-Tetraeders genauer an, so erkennt man hier ein Sierpinski-Dreieck, und zwar nach dem dritten “Ausschneidevorgang”.

Mithilfe der drei roten Objekte kann man gut den fraktalen Aufbau des blauen Sierpinski-Tetraeders erkennen. Mit weiteren vier blauen Tetraedern ließe sich dann das nächst größere  Tetraeder zusammensetzen. Und so weiter!

Zwei Menger-Schwämme – zwei Exponate der Mathothek, die aus kleinen Kunststoffwürfelchen bzw. Holzwürfelchen gebaut wurden:

Ersetzt man den Begriff des Dreiecks durch den des Quadrats und den Begriff des Tetraeders durch den des Würfels, so können die Erklärungen zum Sierpinski-Tetraeder ohne Weiteres zum Verständnis des Menger-Schwamms genommen werden. Auch hier gilt – wie beim Sierpinski-Dreieck – dass es sich bei den Modellen nur um Annäherungen handelt. Der eigentliche Menger-Schwamm und das Sierpinski-Tetraeder sind das Ergebnis des Grenzwertes bei unendlicher Anwendung des “Ausschneideprozesses”. Auch hier sind die Volumina Nullfolgen und damit der Grenzwert null. Oder “ein Hauch von nichts”.

Wendet man den Ausschneideprozess immer wieder an, so erhält man eine unendliche Folge von fraktalen, selbstähnlichen Tetraedern bzw. Würfeln, die sich dem “eigentlichen” Sierpinski-Tetraeder bzw. Menger-Schwamm annähern.

Inzwischen gibt es in der Mathothek zwar keinen weiteren Mengerschwamm, aber drei fraktale Würfel, die zumindest gedanklich unendlich fortgesetzt werden können. Sie sind weitere Produkte aus Franks 3D-Drucker:

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