Mathothek

Eine Sekretärin hat acht verschiedene Briefe geschrieben und acht entsprechende Umschläge adressiert. Sie beauftragt anschließend den Azubi damit, die Briefe in die Umschläge zu stecken und zur Post zu bringen. Da dieser den Auftrag wörtlich nimmt und die Briefe rein zufällig in die Umschläge steckt, kommt es natürlich zu Protesten. Mit wie viel Beschwerden muss sich die arme Sekretärin wohl herumschlagen?

Bei diesem Exponat in der Mathothek geht es jetzt nicht um Schreiben und Umschläge, sondern um Deckel  und Böden von einem Dutzend kleiner Spanschächtelchen. Deckel und Böden tragen je eine Ziffer von 1 bis 12. Deckel und Böden werden getrennt, mit der Ziffer nach unten gelegt und gut vermischt, damit das anschließende Zusammenstecken von je einem Boden mit einem Deckel wirklich zufällig ist.

Nachdem alle Spandöschen komplett sind, wird nun kontrolliert, in wie vielen Fällen die Deckelnummer mit der Nummer auf dem Boden übereinstimmen. 

Bei zwei Döschen stimmten Deckel- und Bodennummer überein, bei den zehn anderen nicht. Das ist ein gutes Ergebnis. Der Erwartungswert ist eins, d.h. wenn man das Experiment sehr oft wiederholt, so ist durchschnittlich ein Fall von Übereinstimmung. Das gilt auch für unsere acht Briefe. Die gesamte Anzahl spielt keine Rolle. Sehr erstaunlich oder doch nicht?

Wer mag, kann das Experiment mit den 26 Plastikdöschen – zweites Exponat der Mathothek zu diesem Thema –  wiederholen, bei denen Deckel und Boden kleine übereinstimmende Blumenbildchen tragen. 

Anmerkung: Die blauen Perlchen sollen nur gegen die Transparenz der Schächtelchen wirken!

Bei der Lottoziehung 6 aus 49 werden die sechs Kugeln mit den Gewinnzahlen zunächst gezogen und dann der Größe nach geordnet, weil es ja beim Gewinnen nicht darauf ankommt, dass der Spieler auch noch die Reihenfolge vorhersagen muss. Nun kann es ja durchaus sein, dass eine Kugel so fällt, dass sie gleich am richtigen Platz zu liegen kommt, es sich also um einen Fixpunkt handelt. Wie groß ist die durchschnittliche Anzahl solcher Fixpunkte pro Ziehung?

Im Zeitraum vom 9.10.1953 bis 31.10.2016 gab es 5.548 Ziehungen, und zwar traten in diesem Zeitraum die Anzahl der Fixpunkte bei der entsprechenden Anzahl von Ziehungen auf:

Anzahl der Fixpunkte      0           1          2           3          4          5          6

Anzahl der Ziehungen  2067    2000   1035     520       117        0           9

Berechnen wir nun die durchschnittliche Anzahl der aufgetretenen Fixpunkte:

0⋅2067+1⋅2000+2⋅1035+3⋅320+4⋅117+5⋅0+6⋅9=5552 und 5552:5548=1,000720981

Das Ergebnis dieser Auswertung ist doch sehr erstaunlich, fällt im Durchschnitt der Lottoziehungen doch nur eine Kugel auf ihren richtigen Platz, während fünf Kugeln durchschnittlich umgeordnet werden müssen.

Betrachtet man alle möglichen “Anordnungen” (Permutationen) von A, B und C, nämlich ABC, ACB, BAC, BCA, CAB und CBA, dann gibt es bei ACB, BAC und CBA jeweils genau einen Fixpunkt, bei BCA und CAB keinen und bei ABC drei Fixpunkte. Die Anordnungen BCA und CAB bezeichnet man auch als fixpunktfreie Permutationen. Die durchschnittliche Anzahl von Fixpunkten beträgt (2⋅0+3⋅1+1⋅3):6=1.

Vier unterscheidbare Objekte, z.B. die Buchstaben A, B, C und D, lassen sich auf 4⋅3⋅2⋅1=24 Arten anordnen:

ABCD   ABDC   ACBD   ACDB    ADBC   ADCB   

BACD   BADC   BCAD   BCDA   BDAC   BDCA

CABD   CADB   CBAD   CBDA   CDAB   CDBA

DABC   DACB   DBAC   DBCA   DCAB   DCBA

Hier gibt es 9 Permutationen mit 0 Fixpunkten, 8 mit 1 Fixpunkt, 6 mit 2, 0 mit 3 und 1 Permutation mit 4 Fixpunkten. Die durchschnittliche Anzahl von Fixpunkten beträgt (0⋅9+1⋅8+2⋅6+4⋅1):24=24:24=1.