Platonische und archimedische Körper – Auf Entdeckungsreise nach ihrem Vorkommen außerhalb der Mathematik

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In der von M. C. Escher in seiner typischen Art der Malerei, in der es sehr oft um Flächen geht, die so gestaltet sind, das es keine Lücken zwischen den Figuren gibt, sondern diese “Lücken” auch wieder mit Figuren gefüllt sind, existieren in der Mathothek fünf Objekte, die aus Bastelbögen hergestellt wurden. Ihre Gestalten entsprechen den fünf platonischen Körpern:

Ohne Bemalung der Seitenflächen durch Escher’sche Motive sehen die platonischen Körper, die aus Klickies gebaut sind, so aus:

Auch als Kantenmodelle aus Messingröhrchen gibt es die fünf höchst symmetrischen Körper in der Mathothek:

Es handelt sich immer um dieselbe Reihenfolge bei den Abbildungen:

  1. Hexaeder
  2. Tetraeder
  3. Oktaeder
  4. Ikosaeder
  5. Dodekaeder

Das Hexaeder ist der weitaus bekannste platonische Körper. Der Würfel begegnet uns im Alltag auf Schritt und Tritt. Besonders alt und verbreitet ist diese Form als Zufallsgerät mit seinen Punkten für die Zahlen eins bis sechs.

Aufgrund ihrer symmetrischen Gestalt können und werden alle platonischen Körper als Zufallsgeräte genutzt. Ihre symmetrische Form sorgt dafür, dass jede ihrer Seitenflächen mit der gleichen Wahrscheinlichkeit oben liegt. Somit sind dann alle möglichen Augen gleichwahrscheinlich. Auf dem linken Foto sind zwei Oktaederwürfel zu sehen. Mit seinen acht Seiten lassen sich die Zahlen von eins bis acht würfeln. Daneben sind zwei Abbildungen von Dodekaederwürfeln zu sehen.

In der großen Würfelsammlung der Mathothek lassen sich noch viele weitere Beispiele finden. So auch für die Würfel mit platonischer Gestalt. Entweder geordnet:

Oder bunt gewürfelt:

Bälle besitzen häufig keine echte Kugelform, sondern eine platonische Grundform mit gewölbten Flächen. Den speziell für kleine Kinder gedachten Bälle liegt die Form eines Dodekaeder zugrunde.

Die wohl bisher häufigste Form des Fußballs ist kein platonischer Körper, sondern ein archimedischer Körper:

Während das Dodekaeder, wie alle platonischen Körpern nur aus einer Sorte kongruenter regelmäßiger Vielecke besteht, sind die archimedischen Körper aus mehr als einem Typ regelmäßiger Polyeder aufgebaut, jedoch so, das alle Ecken gleich sind. Ein solcher Fußball besteht aus regulären Fünf- und Sechsecken. Seine mathmatische Bezeichnung ist Ikosaederstumpf.

Das Kantenmodell eines solchen “Fußballs” sieht so aus:

Ein weiteres bekanntes Fußballmodell besteht aus regelmäßigen Drei- und Fünfecken. 

Zu diesem Fußball gehört das folgende Kantenmodell, das wie das obere aus Teilen der Frameworks gebaut werden kann.

In der Mathematik heißt dieser “Fußball” Ikosidodekaeder. Fußbälle können auch ziemlich klein und eckig sein, so wie die Bälle beim Tippkick-Spiel. Es handelt sich auch hier um ein archimedischen Körper, der aus gleichseitigen Dreiecken und Quadraten besteht und mathematisch als Kuboktaeder bezeichnet wird.

Der Fußball aus Fünf- und Sechsecken lieferte in der Chemie den Bauplan eines Kohlenstoffmoleküls aus 60 C-Atomen. Die einzelnen Kohlenstoffatome bilden die Ecken eines solchen Ikosaederstumpfs.

In der Mathothek gibt es noch mehr Bälle, die aus archimedischen Körpern aufgebaut sind, z.B. die folgenden Beispiele, an denen gut zu erkennen ist, wie ein bestimmter archimedischer Körper aus einem platonischen entsteht: Hier wird durch das Abschneiden der Ecken aus einem Dodekaeder ein archimedischer Körper mit Dreiecken und Fünfecken, den wir schon weiter oben als Fußball gesehen haben.

Der dritte Ball hat dieselbe mathematische Struktur und ist in Thailand und Südostasien sehr populär.

Für Interessierte gibt es in der Mathothek noch in einer Sammlung von Fußbällen und auch anderen Bällen Beispiele mit mathematischem Hintergrund:

Das Dodekaeder mit seinen 12 regelmäßigen Fünfecken ist wegen der Zwölf und der besonderen Rolle dieser magischen Zahl – man denke nur an die 12 Stunden des Tages und der Nacht, die 12 Monate eines Jahres oder die 12 Tierkreiszeichen – recht oft in verschiedenen Objekten zu entdecken. So z.B. in einem Kalender, der aus einem Bastelbogen des Gießener Mathematikums gebaut wurde. Angeregt durch einen Besuch von Professor Beutelspacher ist in der Mathothek ein Dodekaeder aus zwei Hälften und einem Gummiring entstanden, der sich bei geschicktem Wurf durch die Luft von selbst zusammensetzt:

Natürlich wurden das Dodekaeder und das Tetraeder bei der Wiederentdeckung des Rubik-Cubes als Grundform zum Drehen und Knobeln als geeignet entdeckt. Allerdings ist auch unter den Zauberwürfeln weiter das Hexaeder weitaus am häufigsten vertreten.

In dem recht großen Angebot der Mathothek an Knobelspielen und Puzzeln jeder Art sind sehr viele Bezüge zu besonderen mathematischen Körpern, so auch zu platonischen und archimedischen, zu entdecken.

Das letzte Bild zeigt ein schönes Steckpuzzle aus zweierlei Hölzern. Es besteht aus zehn symmetrischen Blüten, die mit ihren jeweils fünf Blütenblättern je ein regelmäßiges der 12 Fünfecke eines Dodekaeders bilden.

Die weitaus meisten Geschicklichkeitsspiele, die in der Mathothek angeboten werden, sehen so aus, dass in einem transparenten Plexiglasbehälter eine Kugel oder mehrere Kugeln durch geschickte Bewegungen diese durch Hinternisse zu bestimmten Zielen gebracht werden müssen. In den allermeisten Beispielen hat der Behälter die Form eines Hexaeders. Aber es gibt auch andere Formen. So zeigt das letzte Bild als Behälter einen archimedischen Körper mit gleichseitigen Dreiecken und Quadraten, der die Bezeichnung Kuboktaeder trägt.

Bei einigen Knobeleien sind die zugrundeliegenden mathematischen Körperformen nicht auf den ersten Blick zu erkennen. So steckt  in den nächsten Puzzeln jeweils das Oktaeder.  

Durch zählen der Ecken und aufgrund der Symmetrie erkennt man bald, dass hinter diesen Plastik-Sternkörpern das Ikosaeder mit seinen 20 Dreiecksseiten steckt, auf denen 20 Tetraeder aufgesetzt sind. Die Spitzen dieser Tetraeder können dann jeweils zu 12 regelmäßigen Fünfecken verbunden werden können, sodass ein Dodekaeder entsteht.

Auf dem nächsten Bild ist ein recht großes Objekt dieser Art zu sehen, das aus Holzkugeln und Rundstäben zusammengesteckt ist. In dem realen dreidimensionalen Gebilde sind  mithilfe der Kugeln das Dodekaeder und sein duales Gegenstück, das Ikosaeder, zu entdecken. Dual bedeutet hier, dass das Dodekaeder zwölf Flächen und zwanzig Ecken besitzt und das Ikosaeder zwanzig Flächen und zwölf Ecken.

Auch in der Mineraliensammlung der Mathothek kann man nach entsprechenden Körperformen fündig werden.

Hier z.B. ein Fluorid-Kristall in Form eines Oktaeders.

Von der Decke der Mathothek hängen alle 13 archimedischen Körper als Kantenmodelle zum Anschauen und auch zum Anfassen herunter:

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