Mathematische Knoten – Kein Seemannsgarn

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 Bei diesem Exponat geht es wieder einmal um eine mathematische Theorie, die nicht im Lehrplan der Schulen vorgesehen ist, die aber vielleicht doch manchen faszinieren und dann zum mathematischen Denken und Tun aufschließen kann.

Die Knotentheorie ist ein Teilgebiet der Topologie, die wiederum ein Teilgebiet der Geometrie ist. In der Knotentheorie gibt es noch viele offene Fragen. Anders als im Alltag sind mathematische Knoten geschlossene Gebilde. Die Äquivalenz von Knoten zu zeigen, gehört zu den schwierigsten Fragen der Topologie. Anschaulich bedeutet das, man kann nur schwer unterscheiden, ob eine vorliegende geschlossene Kurve verknotet oder doch zum Schluss nur ein verbogener Kreis ist. (Siehe Bild unten). Auch die Klassifikation aller Knoten ist sehr aufwendig. Mathematisch beurteilt man die Komplexität eines Knotens nach der Anzahl nicht mehr reduzierbarer Überkreuzungen.  

Mit drei Überkreuzungen gibt es nur einen Knoten (Kleeblattknoten), ebenso gibt es zu vier Überkreuzungen nur einen. Aber zu 13 Überkreuzungen gibt es bereits 12.965 Knoten, d.h. mit der Anzahl der Kreuzungen steigt die Anzahl der Knoten sehr schnell. Du kannst es dir leicht überlegen oder experimentell herausfinden, dass es keinen Knoten mit nur einer oder mit zwei Überkreuzungen geben kann.

In der Mathothek befinden sich die ersten sechszehn Knoten mit den Kreuzungszahlen 3, 4, 5, 6, 7 und 8.

Auf dem Bild mit dem schwarzen Hintergrund sieht der weiße Faden nach einem sehr komplizierten Knoten aus. Mathematisch gesehen, sind es aber null Überkreuzungen. Es handelt sich also um einen Kreis.

Wenn Du nun glaubst, dass Mathematiker einen oder mehrere Knoten im Gehirn hätten und dazu die Knotentheorie erfanden, ist das ein großer Irrtum. Sie haben die Knoten auch nicht aus Langeweile untersucht. Erkenntnisse aus der Knotentheorie helfen den Molekularbiologen dabei die Knoten in der DNA zu verstehen, sie werden aber auch von Quantenphysikern benutzt.

Die Mathothek hat solche Exponate zu Themen, die nicht im normalen Mathematikunterricht abgehandelt werden, in großer Zahl, um ein besonderes Angebot zu machen, neue Einblicke in mathematisches Tun und Denken zu bieten.

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