Körper aus Pappe, Holz oder Plastik – Die verschiedenen Formen von Umstülpkörpern

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In der Mathothek gibt es ca. 2m x 0,40m Regalfläche, auf der dicht gedrängt jede Menge umstülpbarer Objekte von unterschiedlichen Formen und Typen den Besuchern dargeboten werden. Dabei besteht ein Umstülpkörper im Prinzip aus Polyedern, die zu einem Ring zusammengefügt sind. Die einzelnen Glieder dieser symmetrischen Kette sind an bestimmten Kanten, die als Gelenke dienen, beweglich miteinander verbunden. Dieser Ring aus Polyedern und Gelenkkanten lässt sich in sich drehen. Durch den damit verbundenen Umstülpungsvorgang werden diejenigen Flächen, die vorher zur Innenseite des Rings gewiesen haben, nach außen gewendet. Dieser Vorgang kann fortgesetzt wiederholt werden.

Hier Bilder solcher umstülpbarer Gelenkringe aus Tetraedern mit Motiven des Künstlers M. C. Escher:

Solche im Prinzip sehr einfachen Umstülpkörper aus Tetraedern bilden die Grundlage für komplexere Umstülpkörper. Dabei gibt es verschiedene Formen des Umstülpens, bei denen unterschiedliche Aspekte im Vordergrund stehen. Durch sogenannte Riegelkörper, die starr oder auch beweglich sein können, lassen sich manche Gelenkringe zu einem platonischen Körper ergänzen.

Sehr schön und nicht ganz leicht ist der “Miramant”. Die 16 tetraedrischen Körper des Gelenkringes können zu einem symmetrischen Körper mit 2×8 gleichschenkligen Dreieckseiten gedreht und dann zusammengeschoben werden.

Dieser interessante Umstülpkörper aus Edelstahl ist sehr wandlungsfähig. Die verlängerten Gelenkkanten-Stifte lassen die geometrischen Formen leichter erkennen. Dieses Exponat ist bei vielen Besuchern ganz besonders beliebt wegen seines meditativen Effekts.

Zu diesem Objekt gibt es noch zwei ganz ähnliche, aber etwas anders gestaltete Varianten:

Ein besonderer Umstülpkörper hat die Form eines Balls. Durch geschicktes Drehen oder auch Werfen Wechseln die beweglichen Teile so, dass der Ball die Farbe wechselt:

Beim unten abgebildeten Objekt handelt es sich nicht um einen einfachen Polyederring, d.h. die kleinen Tetraeder sind zwar verbunden, aber nicht in der Form eines Ringes. Es ist nicht ganz leicht, durch Umstülpen die beiden geometrischen Körper ineinander zu überführen.

 

Das folgende Objekt ist sehr verschieden von den bisherigen Umstülpkörpern. Es handelt sich um eine Kiste mit gleichem Deckel und einem seltsamen Scharnier:

 

Aus mehreren Teilen, die jeweils einen Umstülpkörper darstellen, besteht das nächste schöne selbst gebaute Objekt:

Dieses schöne Exponat war ein Geschenk aus einer Veranstaltung im Schloss Freudenberg.

Die oben abgebildeten beiden Umstülpungen zweier Yoshimoto-Würfel zeigen ein tolles Objekt in der Mathothek: Erstens kann man durch Umstülpungen eines solchen Yoshimoto-Würfels verschiedene geometrische Körper erstellen: einen Würfel, einen Quader und einen Sternkörper erstellen. Zweitens lassen sich auf sehr anschauliche Weise Volumenberechnungen anstellen.

Allerdings benötigt man dazu einen zweiten Yoshimoto-Würfel.

Der Trick liegt darin begründet, dass der Sternkörper genau den passenden Hohlraum des zweiten Würfels ausfüllt. Durch Umstülpen der beiden Yoshimoto-Würfel erhält man die beiden unten abgebildeten Formen, die man dann nur noch richtig ineinanderstecken muss. Der Weg zur Lösung des Volumenproblems wird genauer in einem besonderen Artikel gezeigt.

Häufig werden Umstülpkörper auch als Werbegeschenke oder kleine Mitbringsel genutzt. So auch diese beiden archimedischen Körper:

Auf dem obigen Foto sind die beiden Objekte aus der Mathothek als archimedische Körper zu sehen: symmetrische Körper mit sechs Quadraten und acht gleichseitigen Dreiecken als Seitenflächen. Es handelt sich mathematisch gesehen um einen Würfel, bei dem die acht Ecken als Tetraeder abgeschnitten wurden. Durch Umstülpen lässt sich der archimedische Körper in einen platonischen umwandeln, und zwar in einen Würfel, der innen einen Hohlraum hat mit der Form eines Oktaeders und dem Volumen der “abgeschnittenen” Ecken des Würfels.

Durch das Umstülpen werden die Spieler dazu verführt, die verschiedenen Texte – gute Wünsche, Lebensweisheiten oder Werbetexte zu lesen.

Das unten abgebildete Objekt ist verwandt mit dem “Himmel- und Hölle-Spiel”, das seit Generationen von Kindern aus Papier gefaltet und als Ja-nein-Entscheidungsorakel benutzt wird. 

In der Mathothek besteht auch die Möglichkeit, das entsprechende Papierobjekt mit Anleitung herzustellen.

Auch das folgende Umstülp-Objekt aus Draht und Perlen ist schon sehr lange bekannt. Der Draht ist in Ringe geformt und diese werden durch bunte Perlen beweglich verbunden. Beim spielerischen Umstülpen entstehen verschiedene Körperformen, die kugel- oder kreisartig sein können, und so auch zu verschiedenen Zwecken dienen können. 

Ebenso sind die nächsten Klapp-Objekte schon lange bekanntes und geliebtes Spielzeug. Sie bestehen aus Holzquadraten, die mit Band beweglich verbunden sind. Hält man das Objekt am obersten Quadrat mit zwei Fingern fest, ohne die Bänder zu berühren und bewegt das oberste Quadrat geschickt hin und her, scheinen die anderen Quadrate “ins Bodenlose zu fallen”. 

In der Mathothek gibt es ein ähnlich funktionierendes Kipp-Objekt, das aus Schlüsselringen hergestellt wurde. Es sind zwei Ringketten, die miteinander verbunden sind.

Mit diesen Exponaten will die Mathothek ihre jungen und alten Besucher nicht nur spielerisch an mathematisches und physikalisches Wissen heranführen, sondern ihnen auch auf nostalgische Weise zeigen, womit die  Kinder vor dem elektronischen Zeitalter sich beschäftigten, wenn Not oder Armmut das Spielen überhaupt erlaubten.

In der Mathothek herrscht “Gott sei Dank” weder Armmut noch gar Not, sondern Vielfalt und Fülle. Das gilt auch diesen Bereich, zu dem es noch viele weitere oder ähnliche Exponate in der Mathothek gibt:

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