Dieses Spiel mit seinen Stufen erinnert ein wenig an das Halmaspiel. Allerdings ist es nur für einen Spieler gedacht, was aber bei den Herausforderungen der Mathothek auch nicht selten der Fall ist. Hier besteht die materielle Seite des Spiels aus einem Spielbrett mit quadratischen Feldern und 50 einfarbigen Spielsteinen:
Die Regeln und das Ziel dieses Spiels sind im Grunde genommen sehr einfach: Die Steine dürfen nur springend bewegt werden. Liegen zwei Steine in zwei benachbarten quadratischen Kästchen, die eine gemeinsame Seite haben, so kann wahlweise einer der beiden Steine den gegenüberliegenden überspringen und auf das dahinter liegende Kästchen gesetzt werden, das natürlich frei sein muss. Im Gegensatz zu Halma muss der übersprungene Stein entfernt werden. Diagonale Bewegungen eines Steins sind nicht erlaubt. Das Ziel des Spiels ist es, unter diesen Bedingungen mit einem Stein, soweit es geht, in die Wüste vorzustoßen. Dabei darf man die Anzahl und die Aufstellung der Steine im Startbereich frei aussuchen. Je nach Ehrgeiz des Spielers geht es dann auch darum, mit einem seiner Steine möglichst weit in die Wüste vorzudringen. Zunächst kannst Du mit beliebig vielen Steinen und beliebiger Positionierung versuchen, deine Zielreihe in der Wüste zu erreichen und dann die Anzahl der Steine und Bewegungen zu optimieren. Um in die erste Reihe der Wüste zu gelangen, benötigt man trivialerweise nur zwei Steine, die auf zwei hintereinander liegende Kästchen direkt an der Grenze platziert werden. Mit einem Satz überspringt dann der hintere Stein seinen Vordermann und landet – wie gewünscht – in der erste Reihe der Wüste. Für das weitere Vorgehen, empfiehlt es sich, schrittweise vorzugehen und die auf der gelösten Stufe gemachten Erfahrungen für die als nächstes zu lösende Stufe zu nutzen. So wie die Anzahl der benötigten Steine wachsen, so wachsen auch die Anzahl der Schritte und damit die Anforderungen überproportional.
Um einen Zwischenraum und Abstand zu den weiter unten folgenden (Auf-)Lösungen zu schaffen, folgen hier ein paar interessante Informationen zu diesem Spiel. Sein Erfinder war der geniale britische Mathematiker J. H. Conway, der auch viele weitere mathematische Knobeleien, Spiele usw. sich ausgedacht und entwickelt hat. Auch in der Mathothek gibt es nicht nur diese Realisierung des Wüstenspiels, sondern einige weitere interessante anfassbare Objekte, die seinen Ideen und Vorbildern fußen. So beispielsweis auch der nach ihm benannte Conway-Würfel.
Conway-Würfel I:
Conway-Würfel II:
Game of Life:
Übrigens hat bei J. H. Conway das Spiel eine militärische Einkleidung. Deswegen nennt man dieses Spiel im Englischen „Conway’s Soldiers. Danach handelt es sich bei den Steinen um Soldaten und bei den Reihen um Zonen eines feindlichen Territoriums, die es zu erobern gilt. Die von Beutelspacher und Petri benutzte Bezeichnung des Spiels deutet auf ein Eindringen in eine lebensfeindliche Wüste hin, ohne dass dieser Bezug irgendwo angesprochen wird. So vermeidet man nicht gewollte Bezüge zu Krieg und jeglichem Militärischen. Der Name „in die Wüste“ erinnert aber auch an die Redewendung “ jemanden in die Wüste schicken“, was meint „sich von jemandem absichtlich zu trennen“ oder gar „jemanden durchaus bösartig zu entlassen“.
Dass der Mathematiker John Horton Conway aber kein „eingefleischter Krieger“ war, kann man wohl gut aus dem folgenden Foto seiner „Höhle“ entnehmen:
Zurück zur „Wüste“: dem prinzipiell unbegrenzten, aus senkrechten und waagrechten Geraden gebildeten Quadraten bestehenden Spielfeld. Noch einige Cent-Stücke dazu und fertig ist die Hardware für das intelligente Spiel.
Mit vier Steinen in die zweite Reihe:
Mit acht Steinen in die dritte Reihe:
Mit 25 Steinen in die vierte Reihe:
Philipp, ein pfiffiger Schüler aus einer fünften Klasse, hat es geschafft! Mit 25 Steinen gestartet, ist er fehlerfrei in der vierten Reihe angekommen: zufrieden und erschöpft.
Aber Philips Leistung ist noch zu topen, denn vier Steine hat er ersichtlich nicht benutzt. Ja, man kann diese Aufgabe sogar nur mit 20 Steinen lösen:
I. mit einer geeigneten Aufstellung der 20 Steinen, beispielsweise so:
II. mit 18 geeigneten Zügen liegt der einzige verbleibende Stein in der vierten Reihe. Als Hilfe für die zu lösende Aufgabe sind hier sechs hilfreiche Stellungen angegeben:
Mit wie vielen Steinen erreicht man die 5. Reihe:
Bei den Lösungen der bisherigen Aufgaben beobachteten wir, dass die Anzahl der notwendigen Steine mit jeder weiteren angestrebten Reihe überproportional ansteigt. Mit den reichlich vorhandenen Steinen, die ausreichen würden, um den gesamten „vorwüstlichen“ Raum zu pflastern, kann die Suche nach einer Lösung für für die fünfte Reihe losgehen. Bevor Du jedoch nach vielen erfolglosen Versuchen total verzweifelst: Es wird auch Dir nicht gelingen, weil es unter den gegebenen Bedingungen unmöglich ist. Aber bis zu diesem Wissen wird jeder Spieler je nach von seiner Persönlichkeit mehr oder weniger leiden. Das erlösende Wissen um die Nichtlösbarkeit dieser Teilaufgabe findet sich in dem schönen und reichhaltigen Buch A. Beutelspacher/B. Petri, Der Goldene Schnitt, 2., überarbeitete und erweiterte Auflage, Spektrum Akademischer Verlag.
Der korrekte und vollständige Unmöglichkeitsbeweis aus dem oben genannten Buch, soll hier nicht wiedergegeben werden, sondern nur kurz referiert werden: In dieser Situation benutzt man in der Mathematik ein gebräuchliches Konzept, nämlich das einer Gewichtung. Es wird jedem Feld eine bestimmte Zahl (Gewicht) zugeordnet. Dabei soll diese Zahl gewissermaßen beschreiben, wie gut eine bestimmte Stellung ist. Je höher diese Zahl ist, umso größer sind die Erfolgsaussichten dieser Spielsituation. Dabei soll die Verteilung so sein, dass beim Übergang von einer Spielsituation zu einer anderen die Spielstärke nicht zunimmt. Sind dann bei diesem Feld die folgenden beiden Bedingungen A und B erfüllt, so bedeutet das, dass man mit einer endlichen Anzahl von Steinen nicht in die fünfte Reihe kommen kann. Dabei beinhalten diese beiden Bedingungen folgendes:
A) Bei jedem Zug bleibt die Stärke erhalten oder wird kleiner.
B) Die Stärke von jeder Ausgangssituation ist kleiner als 1.
Jetzt kommt überraschend eine der bekanntesten Konstanten der Mathematik ins Spiel: Es ist die Zahl des Goldenen Schnitts 0,618… , mit deren Hilfe eine entsprechende Gewichtung unseres Spielfelds gelingt und weil die Zahl des Goldenen Schnitts kleiner eins ist, ist damit der Beweis erbracht, dass es nicht am Spieler liegt, wenn er keinen Zugang zur fünften Reihe findet. Damit überrascht diese in der Mathematik, Kunst und Natur sooft vorkommende Konstante wieder einmal in besonderer Weise.
Natürlich spiegeln sich die vielfältigen und oft überraschenden Auftritte der Goldenen Zahl in der Mathothek durch eine Fülle von Objekten, Beispielen und Experimenten wider.
