Mathothek

Die sogenannte Hilbertkurve, die ihren Namen nach dem großen deutschen Mathematiker David Hilbert bekam, lässt sich nicht zeichnen bzw. man könnte gleich ein schwarzes Quadrat malen. So kompliziert ist sie.

Hilbert hat diese komplizierte Kurve definiert, um die lange Zeit für unmöglich gehaltene Möglichkeit, mit einer mathematischen Kurve eine ganze Fläche, z.B. ein Quadrat, zu füllen, zu widerlegen. Dass dies eigentlich unmöglich ist, scheint der gesunde Menschenverstand uns zu sagen: Kurven sind eindimensionale Gebilde, ein Quadrat ist aber zweidimensional.

Wenn auch die Hilbertkurve selbst nicht gezeichnet werden kann, so hilft uns dieses schöne Exponat dabei, gute Näherungen an die Hilbertkurve zu erkennen. Mit solchen anschaulichen Darstellungen von einer Folge von immer feiner werdenden fraktalen Kurven können wir uns der Hilbertkurve schrittweise nähern.

Das folgende Exponat der Mathothek zeigt vom ersten bis zum neunten Schritt die Entwicklung der Hilbertkurve und ist das Produkt eines 3D-Druckers. Zu Beginn besteht die Kurve nur aus einer u-förmigen Kurve. Im nächsten Schritt bekommt die entsprechende Kurve die nun durchgängig auftretende fraktale Struktur, die am unteren Ende des Objekts sehr gut zu erkennen ist. Man bekommt mithilfe dieses Exponats einen sehr gute Vorstellung von der Dynamik dieser immer feiner werdenden fraktalen Struktur. Mithilfe der so aus der Anschauung gewonnenen Vorstellung muss unser Gehirn früher oder später in der Lage sein, abstrakt den Prozess weiterzuspinnen, denn die konkrete Welt stößt bei diesem realen Herstellen immer neuer fraktaler Gebilde natürlich an Grenzen. Mathematisch gesehen lässt sich die Entwicklung der fraktalen Kurven aber immer weiter fortführen, ohne an eine grundsätzliche Grenze zu stoßen.

Konnte man sich vielleicht bisher noch nichts unter einer fraktalen Kurve vorstellen, so wird diese Lücke mit diesem 3D-Objekt auch gefüllt: Eine fraktale Kurve ist gekennzeichnet durch “Selbstähnlichkeit”, d.h. ein bestimmtes Muster wiederholt sich in der Vergrößerung der Kurve in ihren Teilen immer wieder. Fraktale Strukturen kommen auch in der Natur vor, z.B. beim Wedel eines (Wurm-) Farns, einer Küstenlinie oder den Ästen eines Baumes. Ein bekanntes mathematisches Fraktal ist die sogenannte Koch’sche Schneeflockenkurve. Die Entdeckung der fraktalen Welt durch die Mathematik machte die bekannten ganzzahligen Dimensionen (Gerade, Ebene, Raum usw.) “durchlässiger”. Heute benutzt man auch gebrochene Dimensionen, um sinnvoll den Charakter von Fraktalen zu klassifizieren.

Gehen wir nun einmal von dieser unendlichen Folge solcher Fraktale aus, die als Grenzwert die Hilbertkurve ergeben, so wird es auch plausibel, dass, wenn man irgendeinen Punkt des Quadrats fest auswählt, irgendeine der Näherungskurven durch diesen Punkt geht. Da es kein Argument dafür gibt, dass es irgendeinen Punkt in dem Quadrat gibt, der prinzipiell nicht auswählbar wäre, heißt das, dass jeder Punkt des Quadrats auf der Hilbertkurve liegt. Aus den eindimensionalen Gebilden wird als Grenzwert die zweidimensionale Ebene.

Aber auch bei der Schneeflockenkurve tritt ein erstaunliches Phänomen auf: Während die Fläche der Figur mit zunehmender Fraktalisierung gegen einen endlichen Wert strebt, Ist die Folge der Umfangslängen unbeschränkt, sie wächst gegen unendlich.

Inzwischen hat die Mathothek ein neues Produkt aus Franks 3D-Drucker bekommen, das spontan an das sogenannte “Apfelmännchen” erinnert.