Hexominos sind zweidimensionale geometrische Figuren, die jeweils aus sechs deckungsgleichen Quadraten zusammengesetzt sind. Dabei sind diese Quadrate zusammenhängend, und zwar durch fest verbundene Seitenkanten.
Nimmt man anstelle von zweidimensionalen Quadraten sechs gleiche, dreidimensionale Würfel, die man zu einem Körper an geeigneten quadratischen Seiten zusammenklebt, so erhält man dreidimensionale Hexakuben, von denen es insgesamt 166 gibt.
Vier Beispiele für Hexominos, deren sechs Würfel nicht in einer Ebene liegen:
Diejenigen 35 Hexakuben, deren sechs Würfel in einer Ebene liegen, entsprechen genau den 35 Hexominos. Insofern ersetzt diese Teilmenge der Hexakuben in dem Experiment der Mathothek die hier in Rede stehenden Hexominos:
Die 15 symmetrischen Hexaminos lassen sich aufgrund ihrer Symmetrieeigenschaften in achsensymmetrische Figuren mit einer Achse oder mit zwei orthogonalen Achsen oder punktsymmetrische Figuren einteilen.
I. Achsensymmetrische Hexaminos mit nur einer Spiegelachse:
II. Punktsymmetrische Hexominos mit zwei orthogonalen oder ohne Symmetrieachsen:
Mithilfe der rechteckigen Vorlagen lassen sich alle Hexominos einer der „Einhüllungs-Rechtecks-Typen“ zuordnen:
Eine sehr einfache und sehr häufig auftauchende geometrische Figur ist das Rechteck. Mit ein wenig Mühe lässt sich auch mit einigen Hexominos ein Rechteck legen:
Warum nicht „nach den Sternen greifen“ und versuchen alle 35 Hexominos zu einem Rechteck zu legen?
Wie der folgende Versuch scheitert, so sind auch alle weiteren Versuche – mit allen Hexominos ein Rechteck zu legen – zum Scheitern verurteilt:
Warum jeder Versuch, alle 35 Hexominos lückenlos und ohne Überlappung zu einem Rechteck aneinander zu legen (zu parkettieren oder pflastern) zum Scheitern verurteilt ist. Ein schönes Beispiel für einen Beweis durch Widerspruch.
Behauptung: Es ist unmöglich, mit allen 35 Hexominos ein Rechteck ohne Löcher oder Überlappungen zu legen.
Beweis:
Annahme: Die 35 Hexominos lassen sich doch zu einem lückenlosen und nicht überlappenden Rechteck anordnen.
Unser Lege-Set besitzt 35 Hexominos und jedes Hexomino setzt sich aus sechs kleinen Quadraten zusammen. Also müsste sich unser Rechteck aus 35×6=210 Quadraten lückenlos und ohne Überlappung zusammensetzen lassen, z.B. Länge=21 und die Breite=10. Dann färben wir die kleinen Quadrate schachbrettartig schwarz bzw. weiß, so dass keine benachbarten Quadrate – d.h. keine Quadrate mit gemeinsamer Seite – dieselbe Farbe besitzen. Wir erhalten dann insgesamt 105 weiße und 105 schwarze Quadrate, und dabei ist es egal, ob man mit Weiß oder Schwarz beginnt. Egal ist es aber auch, welche Form das Rechteck besitzt, z.B. 30×7, 1×210, 5×42 usw., immer sind es 105 weiße und 105 schwarze Teilquadrate.
Anschließend färben wir auch die Quadrate unserer 35 Hexominos auf dieselbe schachbrettartige Weise und erhalten zwei Typen von Hexominos:
Typ „Ungerade“: Hexominos mit drei weißen und drei schwarzen Quadraten.
Typ „Gerade“: Hexominos mit zwei weißen und vier schwarzen oder zwei schwarzen und vier weißen Quadraten. Hier könnte man aber auch Schwarz und Weiß vertauschen.
Immer erhalten wir insgesamt 24 „Ungerade“ mit 24×3=72 schwarzen Quadraten. Aber auch die 11 „Geraden“ liefern immer eine gerade Anzahl schwarzer Quadrate: Die maximale Anzahl beträgt hier 11×4=44 schwarze Quadrate und damit ergibt sich als maximale Anzahl der schwarzen Quadrate 116. Also kann es höchstens noch 94 weiße geben. Bei jedem Austausch eines ungeraden Hexominos mit vier durch ein Hexomino mit zwei schwarzen Quadraten, bleibt die Anzahl der schwarzen Quadrate aber immer gerade. Die kleinst mögliche Anzahl schwarzer Quadrate beträgt folglich in diesem Fall 94 (und 116 weiße).
Ergebnis: Wir stoßen somit auf einen Widerspruch: Einerseits müssten die Anzahlen der schwarzen und der weißen Quadrate beide ungerade sein, andererseits müssten beide auch gerade Zahlen sein. Also ist die Annahme falsch: Ein entsprechendes Rechteck existiert nicht.
Wir haben zwar zu Beginn das Rechteck mit den 210 Einheiten als Rechteck 21×10 veranschaulicht, aber dann im Beweis selbst keinen Gebrauch von diesem speziellen Rechteck mehr gemacht, infolgedessen gilt die Aussage für alle Rechtecke, die aus 210 kleinen Quadraten gebildet werden können.
Zum „spielerischen“ Experimentieren gibt es einige einzelne Würfelchen:
Hier sind zwei „Lösungen“ für die Quadraturaufgabe. Allerdings erfüllen beide natürlich nicht die strengen Anforderungen der ursprünglichen Aufgabenstellung, weil diese nicht zu erfüllen sind, wie wir einsehen mussten.
Die folgende perfekte Lösung einer „Quadratur“ stellt die Bildung einer Raute aus allen 35 Hexominos dar und stammt von Andrew Clarke:
Auch die lückenlose und mit allen 35 Hexominos gelegte Form eines rechtwinkligen Dreiecks mit gleichlangen Katheten ist möglich und stammt von Martin Gardner:
Oder mit einem Loch in der Mitte lässt sich mit allen 35 Hexominos eine Raute legen:
Auch die folgende achsensymmetrische geometrische Figur enthält alle 35 Hexominos, aber auch ein notwendiges und ästhetisches Loch:
Auch ein interessanter Versuch, die 35 Hexominos in ein Rechteck zu zwingen und eine maximale Anzahl von Löchern dazu:
Eine reizvolle Aufgabe ist es auch, bestimmte Hexominos in größerem Maßstab zu legen:
Natürlich kann sich die Phantasie auch darauf einlassen, die Hexominos außerhalb der Geometrie einzusetzen. Vorsicht, diese Versuche könnten schon einmal „anecken“!
Solche Bedenken bestehen allerdings nicht beim Versuch, aus den Hexominos einen Würfel mit seinen acht Ecken zu bauen:
Dabei bleibt allerdings ein „Hintertürchen“:
Wer es schafft, sich die Hexominos tatsächlich als zweidimensionale Objekte vorzustellen, kann sich die 35 Hexominos daraufhin ansehen, welche als Würfelabwicklung geeignet sind. Es gibt genau 11 Stück.
Der Name Hexomino ist eine künstliche Bezeichnung, die sich einerseits von Domino und andererseits von dem griechischen Wort für sechs ableitet. So erklärt sich auch die Bezeichnung Tetromino für die folgenden fünf Polyominos:
Wem das alles zum Thema Polyominos noch nicht reicht: In der Mathothek sind immer wieder in den verschiedensten Aufgaben und Zusammenhängen zu finden:
