Goldbach’sche Vermutung – Nur richtige Beispiele, aber kein Beweis

Der Mathematiker Christian Goldbach (1690-1764) vermutete in einem Brief im Jahre 1742 an seinen berühmten Kollegen, Leonhard Euler, dass jede gerade Zahl > 2 die Summe zweier Primzahlen sei. 4=2+2, 12=5+7,  28=5+23, 102=97+5 sind solche Bespiele. Bis heute haben alle überprüften Beispiele die Goldbach’sche Vermutung bestätigt, d.h. es wurde noch keine gerade Zahl >2 gefunden, die sich nicht als Summe zweier Primzahlen darstellen ließe. Ein einziges Gegenbeispiel würde ausreichen, und die Goldbach’sche Vermutung wäre ein für alle mal erledigt. Ein mathematischer Beweis kann durch noch so viele richtige Beispiele nicht ersetzt werden. Deswegen gibt es immer noch keine Antwort darauf, ob die Vermutung nun wahr ist oder falsch.

Formt man die Goldbach’sche Vermutung etwas um, so erhält man die mit ihr äquivalente Aussage, dass es für jede natürliche Zahl n>3 zwei Primzahlen gibt, sodass n von diesen beiden Primzahlen gleich weit entfernt ist.  

Begründung: Jede gerade Zahl kann man als das Doppelte einer natürlichen Zahl schreiben, daher ergibt sich 2n=p+q, wobei p, q die beiden Primzahlen sind. Das ist gleichwertig mit n=(p+q)/2, also damit, dass n der Mittelwert der beiden Primzahlen ist. Auf den Zahlenstrahl übertragen bedeutet das, dass n von den beiden Primzahlen p und q gleich weit entfernt ist. Umgekehrt folgt aus dieser Behauptung wieder die Goldbach’sche Vermutung: Gibt es zu jeder natürlichen Zahl n>3 zwei Primzahlen p und q, die von n gleich weit entfernt sind, so gilt n=(p+q)/2 und damit 2n=p+q, d.h. die Goldbach’sche Vermutung.

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Mit dieser äquivalenten Aussage lässt sich die Goldbach’sche Vermutung leicht veranschaulichen. Auf der einen Zahlenleiste sind die Abstände von der Null nach links und rechts eingetragen. Auf der zweiten Leiste befindet sich ein Zahlenstrahl von 0 bis 99, wobei die Primzahlen rot gekennzeichnet sind. Man legt jetzt die „Abstandsleiste“ über die Leiste mit dem Zahlenstrahl, verschiebt die Abstandsleiste so, dass die Null über der Zahl n zu liegen kommt, deren Primzahlpartner p und q man sucht. Die Antwort lässt sich dann mithilfe der Abstandsleiste schnell finden.

 

Auf diesem Foto wurde die Zahl n=27 untersucht. Im Abstand von vier Einheiten findet man die beiden Primzahlen p=23 und q=31. Es gibt nicht nur in diesem Fall noch weitere Lösungen, z.B. hier die Primzahlen 17 und 37. Für die Goldbach’sche Vermutung heißt das, dass die gerade Zahl 54 (=2·27)  als Summe der Primzahlen 23 und 31 oder auch 17 und 37 dargestellt werden kann.

Es sei hier der Hinweis erlaubt, dass die Eins keine Primzahl ist. Diese Regelung hängt mit der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung zusammen.

Es ist eigentlich unglaublich: Da ist eine Aussage, die sich so einfach formulieren lässt, dass ein Kind sie nachvollziehen kann, zu der nur Beispiele bekannt sind, die die Behauptung bestätigen, jedoch weit und breit kein Beweis in Sicht ist.