Wie können wir helfen?
Du möchtest zum Mutter- oder auch zum Valentinstag ein schönes “mathematisches” Herz konstruieren? Du hast einen passenden Kreis mit einer ausreichenden Dicke (=sehr flacher Zylinder) und einen kleinen süßen Hund mit einer Leine, deren Länge genau dem Kreisumfang entspricht?
Es geht aber auch ohne Hund, wie Du mithilfe eines “genialen” Experiments der Mathothek erfahren kannst.
Man sieht sofort, dass hier kein Hund an irgendeiner Leine ziehen muss, um die richtige Kurve zu laufen, sondern ein Bleistift den armen Hund ersetzt, die Leine bleibt und das Frauchen oder Herrchen muss selbst den roten Faden straff gespannt führen. Die Länge des roten Fadens entspricht dem Umfang des Kreises und die beiden achsensymmetrischen Kurven, aus denen sich das Herz zusammensetzt, entstehen durch die zwei möglichen Richtungen der Bewegung (links- und rechtsherum).
Ganz anschaulich nennt man dieses Vorgehen eine Abwicklung und die gespannte Leine ist eigentlich eine Tangente an die gegebene Kurve im jeweiligen Berührungspunkt.
Gefällt einem das oben gezeigte Vorbild eines Herzens in der Mathothek, das keine “gefährliche Spitze” hat und mathematisch eine Kardioide (=Herzkurve) genannt wird, besser, so lässt sich auch dieses ohne die vierbeinigen Menschenfreunde mit Faden und Stift konstruieren, und zwar mithilfe des folgenden Experiments in der Mathothek:
Ein ähnliches Experiment ließe sich auch zur Abwicklung einer Nephroide (=Nierenkurve) herstellen:
Nicht weit vom Herzen entfernt spielt oft die folgende Kurve als kostbarer Schmuck eine beachtliche Rolle. Es handelt sich um die wohl am häufigsten verbreitete Schmuckform: Die Kette!
An zwei Punkten aufgehängt, fällt sie in einer besonders gefälligen Kurvenform nicht nur als mehr oder weniger kostbare Halskette auf, sondern tritt auch an vielen profanen Orten als Kettenlinie auf, wie z.B. bei gespannten Wäscheleinen (am schönsten ohne Trockenwäsche!), Absperrketten u.v.m.
Bei dem nächsten Objekt dieser Art in der Mathothek handelt es sich nicht um Kreisabschnitte, sondern um Zykloiden (=Rollkurven), die entstehen, wenn ein Kreis auf einer Geraden abgerollt wird. Diejenige Bahn, die dabei von einem festen Randpunkt des Kreises beschrieben wird, ist eine (spitze) Zykloide.
Für alle, die sich nicht mit den einfachen Experimenten zufriedengeben wollen, hier einige Hilfen zum “Klugsch…” :
Zu jedem Punkt einer Kurve K bilden – unter bestimmten Voraussetzungen für K – die Mittelpunkte aller Krümmungskreise wieder eine Kurve, die Evolute genannt wird.
Die Evolvente einer Kurve K entsteht durch die “Abwicklung” der Kurve K.
Der Zusammenhang zwischen Evolute und Evolvente besteht darin, dass jede Kurve die Evolute aller ihrer Evolventen ist.
Dagegen ist der Umgang und die Erfahrung mit den Exponaten doch um einiges eingängiger. Es ist also die Abwicklung einer Kardioide wieder eine Kardioide und jede Abwicklung einer Nephroide wieder eine Nephroide.
Zum guten Ende müssen wir doch noch einmal “auf den Hund kommen”, ja, wir brauchen dieses Mal sogar vier gleich starke und gleich schnelle Hunde und entsprechend vier gleichlange Leinen. Die so angeleinten Hunde ziehen dann mit straffen Leinen – immer in Richtung ihres rechten Nachbarn – auf vier gleichen Kurven in Richtung Mittelpunkt des Quadrats. Mithilfe des unten abgebildeten Objekts werden ihre Bahnen näherungsweise dargestellt:
Sollte aber der Aufwand noch zu hoch sein, so kann man sich auch mit jeweils drei Hunden und drei Leinen zufriedengeben:
P.S. In der Mathothek wurden die Experimente zur Konstruktion einiger Evolventen ohne Hundeeinsatz hauptsächlich aus finanziellen Gründen gemacht, weil dadurch die privat finanzierte Sammlung keine Steuern bezahlen musste und Versuche mit nicht besteuerten Katzen nicht erfolgreich waren.
Ernsthaft, diese anschaulichen “Spielereien” haben einen wichtigen mathematischen Hintergrund: Sie gehören zu wesentlichen Aussagen in der Differenzialgeometrie und haben mit sehr nützlichen Anwendungen in der Technik, u.a. bei der Konstruktion von Zahnrädern zu tun.