Es gibt keinen Bruch, dessen Quadrat zwei ergibt – Beweis durch Widerspruch

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Was hat dieses Exponat mit der Behauptung zu tun: Es gibt keinen Bruch, dessen Quadrat zwei ergibt ? Anders gefragt: Was hat Wurzel aus 2 mit den rationalen Zahlen zu tun?

Zahlen, die sich durch einen Bruch ausdrücken lassen, nennt man in der Mathematik rationale Zahlen. Jede rationale Zahl kann man entweder als Bruch oder im Dezimalsystem mit Komma und unter Umständen mit unendlich vielen Nachkommastellen schreiben. Die rationalen Zahlen sind in der Dezimalschreibweise aber doch ganz brav: Schreibt man eine rationale Zahl in Dezimalschreibweise, so erhält man entweder endlich viele Nachkommastellen oder bestimmte Ziffernblöcke wiederholen sich immer wieder, dann handelt es sich um eine Periode. Jede periodische Dezimalzahl oder mit nur endlich vielen Nachkommastellen lässt sich in einen Bruch verwandeln.

Nun zur obigen Behauptung und unserem Exponat:

Es gibt keine rationale Zahl x, die Lösung der Gleichung x2 = 2 ist.

Lässt sich diese Behauptung beweisen?

Dazu wenden wir einen besonderen logischen Trick an, den Beweis durch einen Widerspruch. Angenommen wir wollen eine Aussage A beweisen, so nehmen wir an, dass das Gegenteil wahr ist, also Non-A (Verneinung der Aussage A) stimme. Kommen wir dann rein logisch zu einem Widerspruch, so folgern wir die Falschheit von Non-A. Wenn Non-A aber falsch ist, dann ist A natürlich wahr, und das wollten wir ja beweisen.

Jetzt kommt unser Exponat aus der Mathothek ins Spiel.  Ein Stapel kleiner Holzleisten enthält eine Reihe von Behauptungen. Diese sollte man darauf überprüfen, dass alle Stäbchen nur wahre Teilaussagen enthalten. Danach beginnt man mit der Annahme, dass die Verneinung der zu beweisenden Aussage richtig ist. Anschließend ordnet man die blauen Stäbe so untereinander an, dass eine lückenlose Argumentationskette entsteht. Diese endet bei einem Widerspruch. Damit ist unsere Annahme als falsch entlarvt. Die Behauptung, dass es keine rationale Zahl x gibt, die Lösung der Gleichung x2 = 2 ist, ist bewiesen.

So sieht die vollständige Argumentationskette aus.

Alles logisch, alles klar. Aber denken wir mal an die Geometrie, z.B. an ein Quadrat mit der Seitenlänge 1. Nach dem Satz des Pythagoras hat dann die Diagonale die Länge √2.

Was nun?

Natürlich hat das Quadrat eine Diagonale und die hat auch eine Länge. Aber diese Länge ist keine rationale Zahl, sondern eine irrationale Zahl, d.h. sie besitzt eine Folge von unendlich vielen Dezimalstellen, bei denen keine Periode auftritt. Denn: Hätte sie irgendeine Periode, dann könnte sie nicht die Lösung von x2 = 2 sein. (Nochmal ein kleiner Beweis durch Widerspruch.)

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