“Einer geht noch” – “Das verschwundene Quadrat”

Obwohl etwas vollständig gefüllt scheint, wie z.B. das oben abgebildete Kästchen, findet sich doch oft noch ein Plätzchen für ein weiteres Teil. Das gilt auch für eine ganze Reihe von Exponaten in der Mathothek und natürlich auch im Alltag. Aber wie immer geht es in der Mathothek mit rechten Dingen zu. Wenn auch bei vielen Experimenten es auf den ersten Blick nicht so scheint, so löst sich beim analytisch logischen Überprüfen das “Wunder” in Luft auf.

Dieses Objekt der Mathothek besteht aus einem quadratischen Rahmen und zehn verschiedenen schwarzen Polygonen (Vielecken) sowie einem kleinen roten Würfel. Die erste Aufgabe besteht darin, die zehn schwarzen Teile in das vertiefte Quadrat zu legen. Das ist nach einigen Versuchen in der Regel erfolgreich gelungen.

Und so, wie es aussieht, sind alle schwarzen Vielecke untergebracht und das Quadrat ist vollständig gefüllt.

Aber was ist mit dem kleinen roten Quadrat, das mutterseelenallein in seiner eigenen Vertiefung liegt?

Gibt es doch noch die Möglichkeit, das einsame rote Quadrat mit den anderen schwarzen Teilen im großen Quadrat unterzubringen? Das scheint auf den ersten Blick unmöglich. Nirgends scheint es, dass ein passendes quadratisches Plätzchen zu finden ist. Die Lösung findet sich durch eine Umordnung der schwarzen Polygone, die alle kleinen Spielräume, die es in oben gezeigten Anordnung noch gibt, zusammenfasst zu dem gesuchten quadratischen Plätzchen für das kleine rote Quadrat:

Natürlich kann man auch das Umgekehrte machen. Aus dem obigen Quadrat wird das keine rote Quadrat entfernt und es gilt, die schwarzen Teile so anzuordnen, dass der freie Platz zu verschwinden scheint.

Es gibt ein sehr schön gestaltetes und gearbeitetes Objekt “MAGIC SQUARE” aus Aluminium in der Mathothek, dass eine ähnliche weitere Denksportaufgabe darstellt.

Bei dieser Aufgabenstellung geht es ebenfalls darum, ein Quadrat aus fünf Polygonen zulegen und dann ein weiteres kleines Quadrat so zu integrieren, dass ein kaum merklich größeres Quadrat entsteht. Dabei dürfen die Teile aus dem kleinen Quadrat, das zunächst gelegt werden soll, nur verschoben, nicht aber umgedreht werden.

Als erste Lösung siehst Du hier das Quadrat aus den “silbernen” Vielecken und dem “verlorenen” kleinen Quadrat:

… und hier den Weg zur Lösung, die notwendigen Verschiebungen zur Integration des kleinen Quadrates:

Zum Schluss noch ein Bild des kaum merklich größeren Quadrats, dass das kleinere Quadrat “gefressen” hat.

Dieses sehr ästhetisch gestaltete Spiel wurde bei der Wahl des “Spiel des Jahres 1997” mit dem Sonderpreis “Schönes Spiel” ausgezeichnet.

Vielleicht ist manchem Besucher aus der Schule das Problem des “verschwundenen Quadrats” bekannt. In der Mathothek gibt es zwei Exponate, die dieses Problem interaktiv durchschaubar machen und in zwei besonderen Artikeln des Katalogs vorgestellt sind:

Das verschwundene Quadrat – Ein Zaubertrick wird überführt

Obwohl die farbigen Teile beider rechtwinkligen Dreiecke paarweise kongruent sind, unterscheiden sich die beiden aus diesen Teilen zusammengesetzten Dreiecke um ein kleines Quadrat. Hier ist mathematische Kriminalistik gefragt.

Dieser Spürsinn ist auch bei dem zweiten Exponat gefragt, in dem es ebenfalls um ein verschwundenes Quadrat geht.

2. Mathematik in Gefahr – Wo ist das verschwundene Quadrat?

Auch in einem weiteren Objekt geht es um ein verschwundenes Quadrat. Diese schöne Arbeit stammt vom Weihnachtsmarkt und ästhetisch anspruchsvoll aus Holz gemacht. Auch bei dieser Denksportaufgabe geht es um ein verlorenes oder, wenn man es so sieht, um ein zusätzliches kleines Quadrat. Gemein ist dabei, dass die vier im Rahmen ausgesparten rechtwinkligen Dreiecke eine sehr einfache Lösung der gestellten Aufgabe suggerieren.

Hier ist die rechteckige Vertiefung gefüllt und für das kleine Quadrat ist nur Platz für seine schmale Kante:

Und hier ist nach einer kleinen Umordnung der Teile nicht nur Platz für das kleine Quadrat, sondern die Lücke, die seine fehlende Schmalseite hinterlässt, bleibt auch noch ungenutzt.

Diese Exponate haben aber nicht nur die Funktion, den nicht eingeweihten Besucher zu staunen zu lassen, sondern auch die grundlegende Erfahrung zu machen, dass man sich auf seinen sinnlichen Eindruck nicht ohne logisch analytische Überprüfung verlassen darf.

Es gibt noch weitere Beispiele für das geheimnisvolle Verschwinden oder auch Auftauchen von Teilen, die ebenfalls in anderen Artikeln des Katalogs erklärt werden. Dabei geht es um einen verschwundenen Panda